Um objeto de massa
está situado a uma distância
do centro do Sol. Seja
o valor da área da seção reta do objeto ortogonal à direção de propagação da luz. Determine a razão
para que a força decorrente da pressão
da radiação solar sobre o objeto seja igual à força de atração gravitacional entre o objeto e o Sol, supondo que o objeto absorva totalmente a radiação solar.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é fornecido:
- Pede-se a razão entre massa e área, isto é
, tal que a força devido à pressão da radiação solar sobre o objeto seja igual à força gravitacional entre o objeto e o Sol. - Dados implícitos/necessários que vamos usar:
- O objeto está a uma distância
do centro do Sol. - A área de seção reta ortogonal à luz é
. - O objeto absorve totalmente a radiação incidente (sem refletir).
- Constantes físicas que aparecem na fórmula: luminosidade do Sol
, massa do Sol , constante gravitacional e velocidade da luz .
- O objeto está a uma distância
- Pergunta concreta: determinar
em termos das constantes físicas (e, se desejado, um valor numérico usando e ).
Passo 2
Intensidade da radiação solar a distância
.
- Conceito: a luminosidade
do Sol é a potência total irradiada por ele (unidade: watts). Essa potência se distribui uniformemente em todas as direções, então a intensidade (fluxo de energia por unidade de área) numa esfera de raio é a potência dividida pela área da esfera. - Fórmula:
Aqui
tem unidades de
(energia por tempo por área). A razão do
é a área da superfície esférica centrada no Sol.
Passo 3
Pressão de radiação sobre um corpo que absorve totalmente a luz e força resultante.
- Conceito rápido: cada fóton transporta momento
(energia dividida por ). Se uma onda de intensidade (energia por área por tempo) incide e é totalmente absorvida, a quantidade de momento transferida por unidade de tempo por unidade de área (que é pressão) vale . - Portanto, para absorção total:
- A força total proveniente dessa pressão sobre a área
é
- Substituindo
de :
Passo 4
Força gravitacional entre o Sol e o objeto.
- Pela lei da gravitação de Newton, a força de atração é
onde
é a constante gravitacional,
a massa do Sol e
a massa do objeto.
Passo 5
Igualando as forças e resolvendo para
.
- Queremos
, então
- Cancelando
dos dois lados (a dependência com some):
- Isolando
:
Esta é a expressão desejada: a razão massa por área para a qual a pressão de radiação iguala a atração gravitacional. Observação importante: o resultado não depende de
.
Passo 6
Avaliação numérica (opcional) e interpretação física.
- Usando valores típicos do Sol (em SI):
-
, -
, -
, -
.
-
- Substituindo em
e calculando aproximadamente:
- Interpretação física: se um objeto tiver massa por unidade de área menor que esse valor, a pressão da radiação solar (absorvida) vence a gravidade (tendência a empurrá-lo para fora); se maior, a gravidade ganha. Esse valor é muito pequeno — é por isso que velas solares (solar sails), filmes muito leves, podem ser empurrados pela luz do Sol.