Um objeto de massa m está situado a uma distância r do centro do Sol. Seja A o valor da área da seção reta do objeto ortogonal à direção de propagação da luz. Determine a razão m / A para que a força decorrente da pressão P da radiação solar sobre o objeto seja igual à força de atração gravitacional entre o objeto e o Sol, supondo que o objeto absorva totalmente a radiação solar.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é fornecido:
  • Pede-se a razão entre massa e área, isto é \dfrac{m}{A}, tal que a força devido à pressão da radiação solar sobre o objeto seja igual à força gravitacional entre o objeto e o Sol.
  • Dados implícitos/necessários que vamos usar:
    • O objeto está a uma distância r do centro do Sol.
    • A área de seção reta ortogonal à luz é A.
    • O objeto absorve totalmente a radiação incidente (sem refletir).
    • Constantes físicas que aparecem na fórmula: luminosidade do Sol L, massa do Sol M, constante gravitacional G e velocidade da luz c.
  • Pergunta concreta: determinar \dfrac{m}{A} em termos das constantes físicas (e, se desejado, um valor numérico usando L_\odot e M_\odot).

Passo 2

Intensidade da radiação solar a distância r.
  • Conceito: a luminosidade L do Sol é a potência total irradiada por ele (unidade: watts). Essa potência se distribui uniformemente em todas as direções, então a intensidade (fluxo de energia por unidade de área) numa esfera de raio r é a potência dividida pela área da esfera.
  • Fórmula:
I(r)=\dfrac{L}{4\pi r^{2}}.
Aqui I tem unidades de \mathrm{W/m^{2}} (energia por tempo por área). A razão do 4\pi r^{2} é a área da superfície esférica centrada no Sol.

Passo 3

Pressão de radiação sobre um corpo que absorve totalmente a luz e força resultante.
  • Conceito rápido: cada fóton transporta momento p=E/c (energia dividida por c). Se uma onda de intensidade I (energia por área por tempo) incide e é totalmente absorvida, a quantidade de momento transferida por unidade de tempo por unidade de área (que é pressão) vale I/c.
  • Portanto, para absorção total:
P_{\text{rad}}=\dfrac{I}{c}.
  • A força total proveniente dessa pressão sobre a área A é
F_{\text{rad}}=P_{\text{rad}}\,A=\dfrac{I}{c}\,A.
  • Substituindo I de \dfrac{L}{4\pi r^{2}}:
F_{\text{rad}}=\dfrac{L}{4\pi r^{2}c}\,A.

Passo 4

Força gravitacional entre o Sol e o objeto.
  • Pela lei da gravitação de Newton, a força de atração é
F_{g}=\dfrac{G\,M\,m}{r^{2}},
onde G é a constante gravitacional, M a massa do Sol e m a massa do objeto.

Passo 5

Igualando as forças e resolvendo para \dfrac{m}{A}.
  • Queremos F_{\text{rad}}=F_{g}, então
\dfrac{L}{4\pi r^{2}c}\,A=\dfrac{G\,M\,m}{r^{2}}.
  • Cancelando r^{2} dos dois lados (a dependência com r some):
\dfrac{L}{4\pi c}\,A=G\,M\,m.
  • Isolando \dfrac{m}{A}:
\dfrac{m}{A}=\dfrac{L}{4\pi G M c}.
Esta é a expressão desejada: a razão massa por área para a qual a pressão de radiação iguala a atração gravitacional. Observação importante: o resultado não depende de r.

Passo 6

Avaliação numérica (opcional) e interpretação física.
  • Usando valores típicos do Sol (em SI):
    • L_{\odot}=3,828\times10^{26}\\ \mathrm{W},
    • M_{\odot}=1,9885\times10^{30}\\ \mathrm{kg},
    • G=6,674\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}},
    • c=2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Substituindo em \dfrac{m}{A}=\dfrac{L}{4\pi G M c} e calculando aproximadamente:
\dfrac{m}{A}\approx 7{,}7\times10^{-4}\\ \mathrm{kg\,m^{-2}}.
  • Interpretação física: se um objeto tiver massa por unidade de área menor que esse valor, a pressão da radiação solar (absorvida) vence a gravidade (tendência a empurrá-lo para fora); se maior, a gravidade ganha. Esse valor é muito pequeno — é por isso que velas solares (solar sails), filmes muito leves, podem ser empurrados pela luz do Sol.

Resposta

\dfrac{m}{A}=\dfrac{L}{4\pi G M c}
\dfrac{m}{A}\approx 7{,}7\times10^{-4}\\ \mathrm{kg\,m^{-2}}

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