Problema 18

Escreva a expressão da velocidade de propagação da luz u em um meio homogêneo e isotrópico em função de sua constante dielétrica K_{e} e de sua permeabilidade magnética relativa K_{m}. Os valores de K_{e} e K_{m} permanecem os mesmos para ondas de comprimentos diferentes? Qual o nome desse fenômeno?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • Escrever a expressão da velocidade de propagação da luz u em um meio homogêneo e isotrópico em função da constante dielétrica K_{e} e da permeabilidade magnética relativa K_{m}.
  • Dizer se os valores de K_{e} e K_{m} permanecem os mesmos para ondas de comprimentos diferentes.
  • Dar o nome do fenômeno que descreve a possível variação com o comprimento de onda.
As informações fornecidas que vamos usar:
  • O meio é homogêneo e isotrópico (portanto K_{e} e K_{m} são escalares, não tensores).
  • K_{e} é a constante dielétrica relativa (também chamada permissividade relativa).
  • K_{m} é a permeabilidade magnética relativa.
  • Temos as constantes do vácuo \varepsilon_0 (permissividade do vácuo) e \mu_0 (permeabilidade do vácuo) conhecidas.

Passo 2

Primeiro, ligando as quantidades absolutas às relativas: em eletromagnetismo, a permissividade e a permeabilidade do meio relacionam-se com as relativas assim:
\varepsilon = K_{e}\,\varepsilon_{0}, \qquad \mu = K_{m}\,\mu_{0},
onde:
  • \varepsilon é a permissividade elétrica do meio (medida de quanto o meio se polariza eletricamente),
  • \mu é a permeabilidade magnética do meio (medida de como o meio reage a campos magnéticos),
  • \varepsilon_{0} e \mu_{0} são as constantes do vácuo (valores fixos conhecidos).
Explicando em palavras: K_{e} diz quantas vezes a permissividade do meio é maior que a do vácuo; K_{m} diz quantas vezes a permeabilidade do meio é maior que a do vácuo.

Passo 3

Agora, lembrar a fórmula geral para a velocidade de uma onda eletromagnética (luz) num meio linear, homogêneo e isotrópico:
u = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon\,\mu}}.
Breve justificativa (intuição): das equações de Maxwell para ondas eletromagnéticas surge que a velocidade depende apenas da permissividade elétrica e da permeabilidade magnética do meio, na forma acima. Essa fórmula tem dimensões corretas e funciona no vácuo também.

Passo 4

Substituímos \varepsilon e \mu pelas expressões com as relativas:
u = \frac{1}{\sqrt{(K_{e}\varepsilon_{0})\,(K_{m}\mu_{0})}} = \frac{1}{\sqrt{K_{e}K_{m}}\;\sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0}}}.
Mas a velocidade da luz no vácuo c é
c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0}}}.
Portanto simplificamos e obtemos a expressão pedida:
u = \frac{c}{\sqrt{K_{e}\,K_{m}}}.

Passo 5

Uma forma muito usada e útil vem definindo o índice de refração relativo n do meio por
n=\sqrt{K_{e}\,K_{m}}.
Com isso a relação entre velocidade no meio e no vácuo fica elegante:
u=\frac{c}{n}.
Interpretação prática: quanto maior n, mais lenta a luz fica no meio.

Passo 6

Agora a segunda pergunta: K_{e} e K_{m} permanecem os mesmos para ondas de comprimentos diferentes?
Resposta direta e explicada: em geral não. Em materiais reais a resposta elétrica e magnética depende da frequência (ou do comprimento de onda) da onda incidente. Ou seja, K_{e} e K_{m} são, na prática, funções da frequência \omega: K_{e}=K_{e}(\omega), K_{m}=K_{m}(\omega). A razão física é que os dipolos (ou elétrons ligados) no meio têm tempos de resposta característicos; para frequências muito altas eles não acompanham o campo, para frequências baixas respondem de outra forma, etc. Consequência: o índice n(\omega)=\sqrt{K_{e}(\omega)K_{m}(\omega)} varia com \omega, e assim a velocidade u(\omega)=c/n(\omega) também varia com a frequência.
Observação prática útil: para a maioria dos materiais no regime óptico a parte magnética é quase a do vácuo, isto é K_{m}\approx 1, e a dependência principal vem de K_{e}(\omega). Mesmo assim o princípio é o mesmo: as constantes dependem da frequência.

Passo 7

Nome do fenômeno: a variação do índice de refração (ou das constantes dielétrica/magnética) com a frequência (ou comprimento de onda) chama-se dispersão. Quando se fala especificamente da separação das cores devido a essa variação (por exemplo num prisma), usa-se o termo dispersão cromática. Em resumo:
  • fenômeno: dispersão (ou dispersão cromática quando referido às cores).

Resposta

u=\frac{c}{\sqrt{K_{e}\,K_{m}}}
Não — K_{e} e K_{m} geralmente dependem da frequência (logo variam com o comprimento de onda); esse fenômeno chama-se dispersão (ou dispersão cromática).

Exercícios relacionados