Problema 18
Escreva a expressão da velocidade de propagação da luz
em um meio homogêneo e isotrópico em função de sua constante dielétrica
e de sua permeabilidade magnética relativa
. Os valores de
e
permanecem os mesmos para ondas de comprimentos diferentes? Qual o nome desse fenômeno?
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Escrever a expressão da velocidade de propagação da luz
em um meio homogêneo e isotrópico em função da constante dielétrica e da permeabilidade magnética relativa . - Dizer se os valores de
e permanecem os mesmos para ondas de comprimentos diferentes. - Dar o nome do fenômeno que descreve a possível variação com o comprimento de onda.
As informações fornecidas que vamos usar:
- O meio é homogêneo e isotrópico (portanto
e são escalares, não tensores). -
é a constante dielétrica relativa (também chamada permissividade relativa). -
é a permeabilidade magnética relativa. - Temos as constantes do vácuo
(permissividade do vácuo) e (permeabilidade do vácuo) conhecidas.
Passo 2
Primeiro, ligando as quantidades absolutas às relativas: em eletromagnetismo, a permissividade e a permeabilidade do meio relacionam-se com as relativas assim:
onde:
-
é a permissividade elétrica do meio (medida de quanto o meio se polariza eletricamente), -
é a permeabilidade magnética do meio (medida de como o meio reage a campos magnéticos), -
e são as constantes do vácuo (valores fixos conhecidos).
Explicando em palavras:
diz quantas vezes a permissividade do meio é maior que a do vácuo;
diz quantas vezes a permeabilidade do meio é maior que a do vácuo.
Passo 3
Agora, lembrar a fórmula geral para a velocidade de uma onda eletromagnética (luz) num meio linear, homogêneo e isotrópico:
Breve justificativa (intuição): das equações de Maxwell para ondas eletromagnéticas surge que a velocidade depende apenas da permissividade elétrica e da permeabilidade magnética do meio, na forma acima. Essa fórmula tem dimensões corretas e funciona no vácuo também.
Passo 4
Substituímos
e
pelas expressões com as relativas:
Mas a velocidade da luz no vácuo
é
Portanto simplificamos e obtemos a expressão pedida:
Passo 5
Uma forma muito usada e útil vem definindo o índice de refração relativo
do meio por
Com isso a relação entre velocidade no meio e no vácuo fica elegante:
Interpretação prática: quanto maior
, mais lenta a luz fica no meio.
Passo 6
Agora a segunda pergunta:
e
permanecem os mesmos para ondas de comprimentos diferentes?
Resposta direta e explicada: em geral não. Em materiais reais a resposta elétrica e magnética depende da frequência (ou do comprimento de onda) da onda incidente. Ou seja,
e
são, na prática, funções da frequência
:
,
. A razão física é que os dipolos (ou elétrons ligados) no meio têm tempos de resposta característicos; para frequências muito altas eles não acompanham o campo, para frequências baixas respondem de outra forma, etc. Consequência: o índice
varia com
, e assim a velocidade
também varia com a frequência.
Observação prática útil: para a maioria dos materiais no regime óptico a parte magnética é quase a do vácuo, isto é
, e a dependência principal vem de
. Mesmo assim o princípio é o mesmo: as constantes dependem da frequência.
Passo 7
Nome do fenômeno: a variação do índice de refração (ou das constantes dielétrica/magnética) com a frequência (ou comprimento de onda) chama-se dispersão. Quando se fala especificamente da separação das cores devido a essa variação (por exemplo num prisma), usa-se o termo dispersão cromática. Em resumo:
- fenômeno: dispersão (ou dispersão cromática quando referido às cores).
Resposta
Não —
e
geralmente dependem da frequência (logo variam com o comprimento de onda); esse fenômeno chama-se dispersão (ou dispersão cromática).