Um objeto de massa
está movendo-se horizontalmente, sujeito unicamente à força de resistencia, proporcional a sua velocidade, oferecida por um fluido com o qual mantém contato:
Detalhes
Dividindo por
podemos reescrever:
Suponha que
e
e que no instante
o objeto estivesse na posiçâo
com velocidade
.
Resolva a equaçáo diferencial para determinar a equaçảo horária da velocidade.
Dividindo por
Resolva a equaçáo diferencial para determinar a equaçảo horária da velocidade.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um objeto com massa
que está se movendo horizontalmente. A única força atuando nesse objeto é a resistência do ar, que é proporcional à velocidade do objeto. Isso é representado pela equação:
Aqui,
é a constante de resistência. Nosso objetivo é resolver a equação diferencial para encontrar a função que descreve a velocidade
em função do tempo
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais de primeira ordem e como resolvê-las.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dada. Dividindo ambos os lados da equação por
, temos:
Sabemos que a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja,
. Substituindo isso na equação, ficamos com:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e linear, que relaciona a velocidade
com o tempo
.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A equação está na forma:
Isso é uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. Para resolver, vamos separar as variáveis
e
. Primeiro, reescrevemos a equação como:
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação.
Passo 4
Integrando os dois lados, temos:
A integral de
é
, e a integral de
é
. Então, após integrar, obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para resolver essa equação para
, vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Isso simplifica para:
Podemos reescrever
como uma nova constante
, então:
Aqui,
é uma constante que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
. Sabemos que quando
,
. Substituindo esses valores na equação:
Como
, temos:
Então, a constante
.
Passo 7
Finalmente, substituímos
de volta na equação geral da velocidade:
Agora, vamos substituir os valores de
e
. Primeiro, precisamos ter atenção às unidades:
Substituindo esses valores na equação:
Simplificando a fração:
Então, a equação fica:
Resposta
A equação horária da velocidade é: