Um objeto de massa m está movendo-se horizontalmente, sujeito unicamente à força de resistencia, proporcional a sua velocidade, oferecida por um fluido com o qual mantém contato:
F=m a=-k v
Detalhes
Dividindo por m podemos reescrever:
v^prime=-km v
Suponha que m=120 g e k=20.4 g / s e que no instante t=0 s o objeto estivesse na posiçâo s(0)=0 m com velocidade v(0)=255 m / s.
Resolva a equaçáo diferencial para determinar a equaçảo horária da velocidade.
v(t) = funç̧ão de t ) m / s ç̧ã

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um objeto com massa m = 120,g que está se movendo horizontalmente. A única força atuando nesse objeto é a resistência do ar, que é proporcional à velocidade do objeto. Isso é representado pela equação:
F = m a = -k v
Aqui, k = 20.4,g/s é a constante de resistência. Nosso objetivo é resolver a equação diferencial para encontrar a função que descreve a velocidade v(t) em função do tempo t. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais de primeira ordem e como resolvê-las.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dada. Dividindo ambos os lados da equação por m, temos:
a = Fm = -k vm
Sabemos que a aceleração a é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a = dvdt. Substituindo isso na equação, ficamos com:
dvdt = -km v
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e linear, que relaciona a velocidade v com o tempo t.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A equação está na forma:
dvdt = -km v
Isso é uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. Para resolver, vamos separar as variáveis v e t. Primeiro, reescrevemos a equação como:
dvv = -km dt
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação.

Passo 4

Integrando os dois lados, temos:
integral 1v dv = -km integral dt
A integral de 1v dv é ln|v|, e a integral de dt é t. Então, após integrar, obtemos:
ln|v| = -km t + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para resolver essa equação para v, vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
e^ln|v| = e^-km t + C
Isso simplifica para:
|v| = e^C cdot e^-km t
Podemos reescrever e^C como uma nova constante C', então:
v = C' e^-km t
Aqui, C' é uma constante que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar C'. Sabemos que quando t = 0, v(0) = 255,m/s. Substituindo esses valores na equação:
255 = C' e^-km cdot 0
Como e^0 = 1, temos:
255 = C'
Então, a constante C' = 255,m/s.

Passo 7

Finalmente, substituímos C' de volta na equação geral da velocidade:
v(t) = 255,m/s cdot e^-km t
Agora, vamos substituir os valores de k e m. Primeiro, precisamos ter atenção às unidades:
m = 120,g = 0.120,kg
k = 20.4,g/s = 0.0204,kg/s
Substituindo esses valores na equação:
v(t) = 255,m/s cdot e^-0.02040.120 t
Simplificando a fração:
0.02040.120 = 0.17
Então, a equação fica:
v(t) = 255,m/s cdot e^-0.17 t

Resposta

A equação horária da velocidade é:
v(t) = 255,m/s cdot e^-0.17, t

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