Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
(s) e^-y+e^-x(-e^-y+1) d yd x=0, F=e^x+y

Passo 1

O enunciado pede para testar se a EDO
e^-y + e^-xl(-e^-y+1r)dydx = 0
é exata, e caso não seja usar o fator integrante dado
F(x,y)=e^x+y
para torná-la exata e depois encontrar a solução geral (e particular, se houvesse condição inicial). Vamos usar teoria de exatidão e fatores integrantes em EDOs de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro identificamos as funções
M(x,y)=e^-y,
N(x,y)=e^-xl(-e^-y+1r)
Para testar exatidão calculamos
partial Mpartial y = -e^-y,
partial Npartial x = ddxl(-e^-x-y+e^-xr) = e^-x-y - e^-x
Como
- e^-y neq e^-x-y - e^-x,
a equação não é exata.

Passo 3

Agora multiplicamos toda a EDO pelo fator integrante
F(x,y)=e^x+y
e definimos
tilde M = F,M = e^x+ye^-y = e^x,
tilde N = F,N = e^x+ye^-x(-e^-y+1) = (-e^-y+1)e^y = -1 + e^y
Verificamos a exatidão de novo:
partial tilde Mpartial y=0,
partial tilde Npartial x=0,
são iguais, logo a equação multiplicada é exata.

Passo 4

Como é exata, existe uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = tilde M = e^x,
partial Psipartial y = tilde N = -1+e^y
Integramos a primeira em relação a x:
Psi(x,y) = integral e^x ,dx = e^x + h(y)
Derivando isso em relação a y e igualando a tilde N:
h'(y) = -1 + e^y
integramos em y:
h(y) = integral(-1+e^y),dy = -y + e^y + C1
Portanto
Psi(x,y) = e^x - y + e^y

Passo 5

A solução geral da EDO exata é dada por
Psi(x,y) = C,
ou seja
e^x - y + e^y = C

Passo 6

Como não foi dada condição inicial, ficamos com a solução geral acima. Se houvesse (x0,y0), bastaria substituir para achar C e obter a solução particular.

Resposta

e^x - y + e^y = C

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