Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
(s)
(s)
Passo 1
O enunciado pede para testar se a EDO
é exata, e caso não seja usar o fator integrante dado
para torná-la exata e depois encontrar a solução geral (e particular, se houvesse condição inicial). Vamos usar teoria de exatidão e fatores integrantes em EDOs de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro identificamos as funções
Para testar exatidão calculamos
Como
a equação não é exata.
Passo 3
Agora multiplicamos toda a EDO pelo fator integrante
e definimos
Verificamos a exatidão de novo:
são iguais, logo a equação multiplicada é exata.
Passo 4
Como é exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos a primeira em relação a
:
Derivando isso em relação a
e igualando a
:
integramos em
:
Portanto
Passo 5
A solução geral da EDO exata é dada por
ou seja
Passo 6
Como não foi dada condição inicial, ficamos com a solução geral acima. Se houvesse
, bastaria substituir para achar
e obter a solução particular.
Resposta
e^x - y + e^y = C