Usando Transformada de Laplace e a função Degrau unitário, resolva o PVI
l y^prime prime+y=f(t) ; y(0)=0 ; y^prime(0)=1 sendo f(t)=c 1 ; 0 <= t= pi2
(Valor =2,5)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI: y''+y=f(t), com y(0)=0, y'(0)=1 e força externa f(t)=1 para 0<= t e zero depois. O conteúdo é EDO linear não homogenea e vamos usar Transformada de Laplace combinada com representação pela função degrau.

Passo 2

Como f(t) muda em t=tfracpi2, representamos ela com degrau unitário: f(t)=1-,ul(t-pi2r) Essa forma facilita achar Lf.

Passo 3

Aplicamos a Transformada de Laplace em y''+y=f(t). Lembrando que Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0) e Ly=Y(s). No lado direito usamos L1=1/s e Lu(t-a),g(t-a)=e^-a sG(s).

Passo 4

Substituindo y(0)=0 e y'(0)=1, a equação em s vira: s^2Y(s)-1+Y(s)=1s-e^-pi s/2s Agrupando em Y(s): Y(s),(s^2+1)=1+1s-e^-pi s/2s

Passo 5

Isolamos Y(s) e separamos em termos mais fáceis de inverter: Y(s)=1+1/ss^2+1;-e^-pi s/2s(s^2+1)

Passo 6

Fazemos frações parciais em 1/[s(s^2+1)]: 1s(s^2+1)=1s-ss^2+1 Então invertendo cada pedacinho: L^-1[1/(s^2+1)]=sin t e L^-1[1/s]=1, L^-1[s/(s^2+1)]=cos t.

Passo 7

Reunindo tudo em domínio do tempo e incluindo o deslocamento pelo degrau, obtemos uma solução por partes. Simplificando, fica: y(t)=sin t +1-cos t -ul(t-tfracpi2r)l[1-cos(t-tfracpi2)r] Aí para t e t>=pi/2 obtemos as expressões finais.
Para finalizar, escrevemos a solução de forma clara e piecewise:

Resposta

y(t)= 1+sin t-cos t, & 0<= t=tfracpi2

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