Usando Transformada de Laplace e a função Degrau unitário, resolva o PVI
(Valor
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI:
, com
,
e força externa
para
e zero depois. O conteúdo é EDO linear não homogenea e vamos usar Transformada de Laplace combinada com representação pela função degrau.
Passo 2
Como
muda em
, representamos ela com degrau unitário:
Essa forma facilita achar
.
Passo 3
Aplicamos a Transformada de Laplace em
. Lembrando que
e
. No lado direito usamos
e
.
Passo 4
Substituindo
e
, a equação em
vira:
Agrupando em
:
Passo 5
Isolamos
e separamos em termos mais fáceis de inverter:
Passo 6
Fazemos frações parciais em
:
Então invertendo cada pedacinho:
e
,
.
Passo 7
Reunindo tudo em domínio do tempo e incluindo o deslocamento pelo degrau, obtemos uma solução por partes. Simplificando, fica:
Aí para
e
obtemos as expressões finais.
Para finalizar, escrevemos a solução de forma clara e piecewise:
Para finalizar, escrevemos a solução de forma clara e piecewise: