Um objeto de massa
está movendo-se horizontalmente, sujeito unicamente à força de resistencia, proporcional a sua velocidade, oferecida por um fluido com o qual mantém contato:
Detalhes
Dividindo por
podemos reescrever:
Suponha que
e
e que no instante
o objeto estivesse na posiçâo
com velocidade
.
Determine a equação horária da posição.
Dividindo por
Determine a equação horária da posição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um objeto com massa de
que está se movendo horizontalmente e enfrenta apenas uma força de resistência proporcional à sua velocidade. A gente precisa descobrir como a posição desse objeto muda com o tempo, ou seja, encontrar a equação
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a força que está agindo no objeto. A força de resistência é dada por:
Aqui,
é a constante de resistência e
é a velocidade do objeto. A equação da segunda lei de Newton é:
Como a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo (
), podemos escrever:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Essa é uma equação diferencial que descreve como a velocidade muda com o tempo.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Ela é do tipo separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
. Reescrevendo:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Para simplificar, usamos a exponencial para eliminar o logaritmo:
Usando a condição inicial
, encontramos
:
Portanto, a velocidade em função do tempo é:
Simplificando a fração:
Passo 4
Agora que temos a velocidade em função do tempo, vamos encontrar a posição
. Sabemos que:
Substituindo
:
A integral de
é
, então:
Simplificando:
Usando a condição inicial
:
Então, a posição em função do tempo é:
Resposta
A equação horária da posição é: