Um objeto de massa m está movendo-se horizontalmente, sujeito unicamente à força de resistencia, proporcional a sua velocidade, oferecida por um fluido com o qual mantém contato:
F=m a=-k v
Detalhes
Dividindo por m podemos reescrever:
v^prime=-km v
Suponha que m=120 g e k=20.4 g / s e que no instante t=0 s o objeto estivesse na posiçâo s(0)=0 m com velocidade v(0)=255 m / s.
Determine a equação horária da posição.
s(t) = funçứo de t) m ç

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um objeto com massa de 120,g que está se movendo horizontalmente e enfrenta apenas uma força de resistência proporcional à sua velocidade. A gente precisa descobrir como a posição desse objeto muda com o tempo, ou seja, encontrar a equação s(t).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a força que está agindo no objeto. A força de resistência é dada por:
F = -k v
Aqui, k = 20,4,g/s é a constante de resistência e v é a velocidade do objeto. A equação da segunda lei de Newton é:
F = m a
Como a aceleração a é a derivada da velocidade em relação ao tempo ( a = v'), podemos escrever:
m v' = -k v
Dividindo ambos os lados por m, temos:
v' = -km v
Essa é uma equação diferencial que descreve como a velocidade muda com o tempo.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Ela é do tipo separável, o que significa que podemos separar as variáveis v e t. Reescrevendo:
dvv = -km dt
Integrando ambos os lados:
ln|v| = -km t + C
Onde C é a constante de integração. Para simplificar, usamos a exponencial para eliminar o logaritmo:
v = C e^-km t
Usando a condição inicial v(0) = 255,m/s, encontramos C:
255 = C e^0 Rightarrow C = 255
Portanto, a velocidade em função do tempo é:
v(t) = 255 e^-20,4120 t
Simplificando a fração:
v(t) = 255 e^-0,17 t

Passo 4

Agora que temos a velocidade em função do tempo, vamos encontrar a posição s(t). Sabemos que:
s(t) = integral v(t) , dt
Substituindo v(t):
s(t) = integral 255 e^-0,17 t , dt
A integral de e^at é 1a e^at, então:
s(t) = 255-0,17 e^-0,17 t + C
Simplificando:
s(t) = -1500 e^-0,17 t + C
Usando a condição inicial s(0) = 0:
0 = -1500 e^0 + C Rightarrow C = 1500
Então, a posição em função do tempo é:
s(t) = 1500 (1 - e^-0,17 t)

Resposta

A equação horária da posição é:
s(t) = 1500 (1 - e^-0,17, t) m

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