Um objeto de massa unitária orbita em um potencial central
. Sua órbita é
, onde
é o ângulo azimutal medido no plano orbital. Encontre
a menos de uma constante multiplicativa.
Passo 1
O enunciado considera uma partícula de massa unitária orbitando sob um potencial central
e descreve sua trajetória no plano orbital por
onde
e
são constantes e
é o ângulo azimutal.
Para obter até uma constante multiplicativa, vamos usar a mecânica clássica de órbitas em potencial central, em particular a equação de Binet, que relaciona a forma da órbita com a força central.
Para obter
Passo 2
Definimos
e lembramos a equação de Binet para movimento central com momento angular constante
:
onde
é a força central.
Passo 3
Da órbita dada segue
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação de Binet:
logo
Passo 5
Como
, temos
Integrando em
:
Até uma constante multiplicativa (e absorvendo fatores constantes em
), asseguramos que