Um objeto de massa unitária orbita em um potencial central U(r). Sua órbita é r=a e^{-b \theta}, onde \theta é o ângulo azimutal medido no plano orbital. Encontre U(r) a menos de uma constante multiplicativa.

Passo 1

O enunciado considera uma partícula de massa unitária orbitando sob um potencial central U(r) e descreve sua trajetória no plano orbital por
r = a\,e^{-b\theta},
onde a e b são constantes e \theta é o ângulo azimutal.
Para obter U(r) até uma constante multiplicativa, vamos usar a mecânica clássica de órbitas em potencial central, em particular a equação de Binet, que relaciona a forma da órbita com a força central.

Passo 2

Definimos
u(\theta)=\frac{1}{r(\theta)}
e lembramos a equação de Binet para movimento central com momento angular constante L:
u''(\theta)+u(\theta)\;=\;-\,\frac{F(r)}{L^{2}\,u(\theta)^{2}},
onde
F(r)=-\frac{dU}{dr}
é a força central.

Passo 3

Da órbita dada segue
u(\theta)=\frac{1}{r}=\frac{1}{a}\,e^{b\theta}, \quad u'(\theta)=b\,u, \quad u''(\theta)=b^{2}\,u.

Passo 4

Substituindo u, u' e u'' na equação de Binet:
u''+u=(b^{2}+1)\,u =-\,\frac{F(r)}{L^{2}u^{2}}
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F(r)=-\,L^{2}(b^{2}+1)\,u^{3} =-\,L^{2}(b^{2}+1)\,\frac{1}{r^{3}}.

Passo 5

Como F(r)=-dU/dr, temos
\frac{dU}{dr} =+L^{2}(b^{2}+1)\,r^{-3}.
Integrando em r:
U(r) =L^{2}(b^{2}+1)\int r^{-3}dr =L^{2}(b^{2}+1)\Bigl(-\tfrac12\,r^{-2}\Bigr)+C =-\frac{L^{2}(b^{2}+1)}{2}\,r^{-2}+C.
Até uma constante multiplicativa (e absorvendo fatores constantes em C), asseguramos que
U(r)\propto r^{-2}.

Resposta

U(r)\propto r^{-2}.

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