Um cometa em órbita ao redor do Sol tem uma velocidade de 10 \mathrm{~km} / \mathrm{s} no afélio e 80 \mathrm{~km} / \mathrm{s} no periélio. Se a velocidade da Terra em uma órbita circular é de 30 \mathrm{~km} / \mathrm{s} e o raio de sua órbita é de 1,5 \cdot 10^{8} \mathrm{~km}, determine as distâncias do afélio R_{a} e do periélio R_{p} para o cometa.

Passo 1

O enunciado dá velocidade no periélio \,v_p = 80,km/s e no afélio \,v_a = 10,km/s de um cometa em torno do Sol. Para achar as distâncias do periélio R_p e do afélio R_a, vamos usar conservação do momento angular e da energia mecânica no problema de dois corpos. Além disso, precisamos do parâmetro gravitacional do Sol GM, que extraímos dos dados da Terra: sua velocidade orbital é v_{\oplus}=30,km/s em um raio r_{\oplus}=1{,}5\times10^8,km, de modo que
GM = v_{\oplus}^2\,r_{\oplus}.

Passo 2

Calculamos GM com os dados da Terra:
GM = (30)^2 \times 1{,}5\times10^8 = 900 \times 1{,}5\times10^8 = 1{,}35\times10^{11}\\ \text{km}^3/\text{s}^2.

Passo 3

Conservação do momento angular dá
h = R_p\,v_p = R_a\,v_a.
Conservação da energia mecânica em p e a:
\frac{v_p^2}{2} - \frac{GM}{R_p} =\frac{v_a^2}{2} - \frac{GM}{R_a}.
Dessas duas equações segue (ver derivação abaixo) que
h = \frac{2\,GM}{v_p + v_a},
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R_p = \frac{h}{v_p} = \frac{2\,GM}{v_p\,(v_p+v_a)}, \quad R_a = \frac{h}{v_a} = \frac{2\,GM}{v_a\,(v_p+v_a)}.

Passo 4

Substituindo GM=1{,}35\times10^{11},km ^3/s ^2, v_p=80 e v_a=10 km/s:
R_p = \frac{2\times1{,}35\times10^{11}}{80\,(80+10)} = \frac{2{,}7\times10^{11}}{80\times90} = \frac{2{,}7\times10^{11}}{7{,}2\times10^3} =3{,}75\times10^7\\ \text{km},
R_a = \frac{2\times1{,}35\times10^{11}}{10\,(80+10)} = \frac{2{,}7\times10^{11}}{10\times90} = \frac{2{,}7\times10^{11}}{9\times10^2} =3{,}0\times10^8\\ \text{km}.

Resposta

R_p = 3{,}75\times10^7,km
R_a = 3{,}0\times10^8,km

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