Uma espaçonave será lançada em uma missão para Marte. Considere que ela seja lançada em uma órbita elíptica ao redor do Sol, com o periélio na órbita da Terra e o afélio na órbita de Marte. (a) Encontre os valores dos parâmetros \lambda e \epsilon da equação da órbita r=\frac{\lambda(1+\epsilon)}{1+\epsilon \cos \theta}, (b) Use a terceira lei de Kepler para calcular a duração da missão até Marte nessa órbita. (c) Qual deve ser a direção do lançamento a partir da Terra para minimizar o consumo de combustível? A distância média da Terra ao Sol é 1,0 U \cdot A \cdot=1,496 \cdot 10^{11} \mathrm{~m} e a distância média de Marte ao Sol é 1,5 U \cdot A.

Passo 1

O enunciado diz que a espaçonave descreve em torno do Sol uma órbita elíptica de periélio na órbita da Terra e afélio na órbita de Marte. A equação dada é
r(\theta)=\frac{\lambda\,(1+\epsilon)}{1+\epsilon\cos\theta}.
Precisamos (a) achar \lambda e \epsilon usando que r(0) é o periélio r_p (distância da Terra ao Sol) e r(\pi) é o afélio r_a (distância de Marte ao Sol), (b) usar a terceira lei de Kepler para o período T da elipse e então metade de T é o tempo de viagem, e (c) decidir a direção de partida para minimizar combustível.

Passo 2

Em \theta=0 temos
r(0)=\frac{\lambda(1+\epsilon)}{1+\epsilon\cdot1}=\lambda,
logo o periélio r_p satisfaz \lambda=r_p. Em \theta=\pi temos
r(\pi)=\frac{\lambda(1+\epsilon)}{1+\epsilon\cos\pi} =\frac{\lambda(1+\epsilon)}{1-\epsilon}=r_a.
Da segunda equação segue
\lambda\,\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}=r_a.

Passo 3

Substituindo \lambda=r_p em \displaystyle r_p\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}=r_a, obtemos
\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}=\frac{r_a}{r_p} \quad\Longrightarrow\quad 1+\epsilon=\frac{r_a}{r_p}(1-\epsilon) \quad\Longrightarrow\quad \epsilon\Bigl(1+\frac{r_a}{r_p}\Bigr)=\frac{r_a}{r_p}-1.
Logo
\epsilon=\frac{\dfrac{r_a}{r_p}-1}{1+\dfrac{r_a}{r_p}} =\frac{r_a-r_p}{r_a+r_p}, \qquad \lambda=r_p.
Numericamente, com r_p=1{,}0\,\mathrm{UA} e r_a=1{,}5\,\mathrm{UA}:
\epsilon=\frac{1{,}5-1{,}0}{1{,}5+1{,}0}=\frac{0{,}5}{2{,}5}=0{,}2, \qquad \lambda=1{,}0\,\mathrm{UA}=1{,}496\times10^{11}\,\mathrm{m}.

Passo 4

O semi-eixo maior da elipse é
a=\frac{r_p+r_a}{2}= \frac{1{,}0+1{,}5}{2}=1{,}25\,\mathrm{UA}.
Pela terceira lei de Kepler vale
T^2=\frac{4\pi^2\,a^3}{G\,M_{\odot}},
ou, usando a forma adimensional (em que a em UA e T em anos):
T=\sqrt{a^3}=(1{,}25)^{3/2}\approx1{,}397\\ \text{anos}.

Passo 5

O tempo de trânsito de Terra a Marte é metade do período da elipse de transferência:
t_{\rm viagem}=\frac{T}{2}\approx\frac{1{,}397}{2}=0{,}6985\\ \text{anos}\approx256\\ \text{dias}.

Passo 6

Para minimizar o consumo de combustível faz-se o impulso de partida tangencialmente ao movimento orbital da Terra (ou seja, no sentido do “leste” visto de fora), de modo a aumentar a velocidade orbital no periélio e colocar a espaçonave na elipse de transferência.

Resposta

(a) \lambda=r_p=1{,}0\,\mathrm{UA}=1{,}496\times10^{11}\,\mathrm{m},\quad \epsilon=0{,}2.
(b) t_{\rm viagem}\approx0{,}70 anos \approx256 dias.
(c) Lançar tangencialmente ao movimento da Terra (direção pro-leste), para ganhar impulso no periélio.

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