Uma espaçonave será lançada em uma missão para Marte. Considere que ela seja lançada em uma órbita elíptica ao redor do Sol, com o periélio na órbita da Terra e o afélio na órbita de Marte. (a) Encontre os valores dos parâmetros
e
da equação da órbita
, (b) Use a terceira lei de Kepler para calcular a duração da missão até Marte nessa órbita. (c) Qual deve ser a direção do lançamento a partir da Terra para minimizar o consumo de combustível? A distância média da Terra ao Sol é
e a distância média de Marte ao Sol é
.
Passo 1
O enunciado diz que a espaçonave descreve em torno do Sol uma órbita elíptica de periélio na órbita da Terra e afélio na órbita de Marte. A equação dada é
Precisamos (a) achar
e
usando que
é o periélio
(distância da Terra ao Sol) e
é o afélio
(distância de Marte ao Sol), (b) usar a terceira lei de Kepler para o período
da elipse e então metade de
é o tempo de viagem, e (c) decidir a direção de partida para minimizar combustível.
Passo 2
Em
temos
logo o periélio
satisfaz
. Em
temos
Da segunda equação segue
Passo 3
Substituindo
em
, obtemos
Logo
Numericamente, com
e
:
Passo 4
O semi-eixo maior da elipse é
Pela terceira lei de Kepler vale
ou, usando a forma adimensional (em que
em UA e
em anos):
Passo 5
O tempo de trânsito de Terra a Marte é metade do período da elipse de transferência:
Passo 6
Para minimizar o consumo de combustível faz-se o impulso de partida tangencialmente ao movimento orbital da Terra (ou seja, no sentido do “leste” visto de fora), de modo a aumentar a velocidade orbital no periélio e colocar a espaçonave na elipse de transferência.
Resposta
(a)
(b) anos
dias.
(c) Lançar tangencialmente ao movimento da Terra (direção pro-leste), para ganhar impulso no periélio.
(b)
(c) Lançar tangencialmente ao movimento da Terra (direção pro-leste), para ganhar impulso no periélio.