Duas formigas cada uma com massa m estão na borda de um disco homogêneo de massa 4,00m que pode girar livremente em torno do centro como um carrossel. Inicialmente, as formigas e o disco giram juntos com uma velocidade angular de 0,260rad/s . As formigas caminham até metade da distancia ao centro do disco.
Calcule o momento de inércia inicial, e o momento de inércia final, para o sistema formigas-disco, em função de m e R . ( I=12 M R^2 para um disco girando em torno do seu eixo)

Passo 1

Entendendo o problema:
Temos um disco homogêneo com massa total de 4m e raio R, que pode girar livremente em torno do seu centro, como um carrossel. Duas formigas, cada uma com massa m, estão inicialmente na borda do disco, girando junto com ele a uma velocidade angular de 0,260 , rad/s. Depois, as formigas caminham até a metade da distância ao centro do disco, ou seja, passam a estar a uma distância de R/2 do centro.
Conteúdo envolvido:
Para resolver esse exercício, vamos utilizar conceitos de momento de inércia e a fórmula para o momento de inércia de um disco. O momento de inércia é uma medida de quanta energia um objeto tem em movimento de rotação e depende da massa do objeto e de como essa massa está distribuída em relação ao eixo de rotação.

Passo 2

Calculando o momento de inércia inicial:
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia inicial do sistema, ou seja, quando as formigas estão na borda do disco.
  1. Momento de inércia do disco:
    A fórmula para o momento de inércia de um disco homogêneo girando em torno do seu eixo é:
    Idisco = 12 M R^2
    Onde M é a massa do disco. Neste caso, M = 4m, então:
    Idisco = 12 times 4m times R^2 = 2m R^2
  2. Momento de inércia das formigas:
    Cada formiga está na borda do disco, a uma distância R do centro. O momento de inércia para um ponto de massa é dado por:
    I = m r^2
    Onde m é a massa da formiga e r é a distância ao eixo de rotação. Como temos duas formigas:
    Iformigas, inicial = 2 times m times R^2 = 2m R^2
  3. Momento de inércia total inicial:
    Somando o momento de inércia do disco e das formigas:
    Iinicial = Idisco + Iformigas, inicial = 2m R^2 + 2m R^2 = 4m R^2

Passo 3

Calculando o momento de inércia final:
Agora, vamos calcular o momento de inércia quando as formigas caminham até a metade da distância do centro, ou seja, a uma distância de R/2 do centro.
  1. Momento de inércia do disco permanece o mesmo:
    O disco não mudou, então:
    Idisco = 2m R^2
  2. Momento de inércia das formigas após moverem-se:
    Cada formiga agora está a uma distância R/2 do centro. Calculando o momento de inércia para cada uma:
    I = m (R2)^2 = m times R^24
    Para duas formigas:
    Iformigas, final = 2 times m times R^24 = 2m R^24 = m R^22
  3. Momento de inércia total final:
    Somando o momento de inércia do disco e das formigas na nova posição:
    Ifinal = Idisco + Iformigas, final = 2m R^2 + m R^22 = 5m R^22

Resposta

O momento de inércia inicial do sistema é 4m R^2 e o momento de inércia final é 5m R^22.

Exercícios relacionados