Duas formigas cada uma com massa m estão na borda de um disco homogêneo de massa 4,00m que pode girar livremente em torno do centro como um carrossel. Inicialmente, as formigas e o disco giram juntos com uma velocidade angular de 0,260rad/s . As formigas caminham até metade da distancia ao centro do disco.
Calcule o momento de inércia inicial, e o momento de inércia final, para o sistema formigas-disco, em função de m e R . (
para um disco girando em torno do seu eixo)
Calcule o momento de inércia inicial, e o momento de inércia final, para o sistema formigas-disco, em função de m e R . (
Passo 1
Entendendo o problema:
Temos um disco homogêneo com massa total de
e raio
, que pode girar livremente em torno do seu centro, como um carrossel. Duas formigas, cada uma com massa
, estão inicialmente na borda do disco, girando junto com ele a uma velocidade angular de
. Depois, as formigas caminham até a metade da distância ao centro do disco, ou seja, passam a estar a uma distância de
do centro.
Conteúdo envolvido:
Para resolver esse exercício, vamos utilizar conceitos de momento de inércia e a fórmula para o momento de inércia de um disco. O momento de inércia é uma medida de quanta energia um objeto tem em movimento de rotação e depende da massa do objeto e de como essa massa está distribuída em relação ao eixo de rotação.
Passo 2
Calculando o momento de inércia inicial:
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia inicial do sistema, ou seja, quando as formigas estão na borda do disco.
-
Momento de inércia do disco:A fórmula para o momento de inércia de um disco homogêneo girando em torno do seu eixo é:Onde
é a massa do disco. Neste caso, , então: -
Momento de inércia das formigas:Cada formiga está na borda do disco, a uma distância
do centro. O momento de inércia para um ponto de massa é dado por: Ondeé a massa da formiga e é a distância ao eixo de rotação. Como temos duas formigas: -
Momento de inércia total inicial:Somando o momento de inércia do disco e das formigas:
Passo 3
Calculando o momento de inércia final:
Agora, vamos calcular o momento de inércia quando as formigas caminham até a metade da distância do centro, ou seja, a uma distância de
do centro.
-
Momento de inércia do disco permanece o mesmo:O disco não mudou, então:
-
Momento de inércia das formigas após moverem-se:Cada formiga agora está a uma distância
do centro. Calculando o momento de inércia para cada uma: Para duas formigas: -
Momento de inércia total final:Somando o momento de inércia do disco e das formigas na nova posição:
Resposta
O momento de inércia inicial do sistema é
e o momento de inércia final é
.