Um objeto se move com função horária x(t)=bt+ct^3, onde b=1.5 m / s e c=1.5 m / s^3. Encontre a velocidade média do objeto os instantes (a) 1.5 s e 2.5 s , (b) 1.75 s e 2.25 s , © 1.95s e 2.05s. Após, calcule a velocidade instantânnea do objeto em função do tempo e compare seu resultado para t=2 s com os valores das médias obtidas em (a), (b) e ©. Esse exemplo serve para mostrar como a definição de velocidade instantânea se adequa bem à definição dada em sala.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um objeto que se move de acordo com a função horária $ x(t) = bt + ct^{3} $, onde $ b = 1,5 , m/s $ e $ c = 1,5 , m/s^{3} $. O objetivo é encontrar a velocidade média do objeto em diferentes intervalos de tempo e depois calcular a velocidade instantânea em $ t = 2 , s $. Para isso, vamos precisar entender como calcular velocidade média e instantânea usando cálculo básico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade média entre dois instantes de tempo $ t_1 $ e $ t_2 $ é dada pela fórmula:
t1 é
Isso basicamente nos diz a velocidade “média” que o objeto teve entre esses dois tempos.

Passo 3

Vamos calcular a posição $ x(t) $ nos instantes dados usando a função horária $ x(t) = bt + ct^{3} $.
Para $ b = 1,5 , m/s $ e $ c = 1,5 , m/s^{3} $, a função fica:
x(t)

Passo 4

Parte (a): $ t_1 = 1,5 , s $ e $ t_2 = 2,5 , s $

Calculamos $ x(1,5) $ e $ x(2,5) $:
t1 = 1,5 , s
t2 = 2,5 , s
Agora, a velocidade média:
x(1,5) é

Passo 5

Parte (b): $ t_1 = 1,75 , s $ e $ t_2 = 2,25 , s $

Calculando $ x(1,75) $ e $ x(2,25) $:
t1 = 1,75 , s
t2 = 2,25 , s
Velocidade média:
x(1,75) é

Passo 6

Parte ©: $ t_1 = 1,95 , s $ e $ t_2 = 2,05 , s $

Calculando $ x(1,95) $ e $ x(2,05) $:
t1 = 1,95 , s
t2 = 2,05 , s
Velocidade média:
x(1,95) é

Passo 7

Agora, vamos encontrar a velocidade instantânea. Para isso, derivamos a função posição $ x(t) $ em relação ao tempo.
A derivada de $ x(t) = bt + ct^{3} $ é:
x(t)
Substituindo $ b = 1,5 , m/s $ e $ c = 1,5 , m/s^{3} $:
x(t) = bt + ct^3

Passo 8

Vamos calcular a velocidade instantânea em $ t = 2 , s $:
t = 2 , s

Passo 9

Agora, vamos comparar a velocidade instantânea em $ t = 2 , s $ com as velocidades médias calculadas:
  • Parte (a): $ 19,875 , m/s $
  • Parte (b): $ 19,59375 , m/s $
  • Parte ©: $ 19,616875 , m/s $
  • Velocidade instantânea: $ 19,5 , m/s $
Observamos que conforme os intervalos de tempo ficam mais próximos de $ t = 2 , s $, as velocidades médias se aproximam cada vez mais da velocidade instantânea de $ 19,5 , m/s $. Isso mostra que a definição de velocidade instantânea está alinhada com a ideia de considerar intervalos de tempo cada vez menores ao redor do instante desejado.

Resposta

A velocidade média do objeto nos intervalos (a) 1,5 s a 2,5 s é 19,875 , m/s, em (b) 1,75 s a 2,25 s é 19,59375 , m/s, e em © 1,95 s a 2,05 s é 19,616875 , m/s. A velocidade instantânea em $ t = 2 , s $ é t = 2 , s , que se aproxima dos valores médios conforme os intervalos se aproximam de $ t = 2 , s $, confirmando a definição de velocidade instantânea.

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