Um objeto se move com função horária
, onde
e
. Encontre a velocidade média do objeto os instantes (a) 1.5 s e 2.5 s , (b) 1.75 s e 2.25 s , © 1.95s e 2.05s. Após, calcule a velocidade instantânnea do objeto em função do tempo e compare seu resultado para
com os valores das médias obtidas em (a), (b) e ©. Esse exemplo serve para mostrar como a definição de velocidade instantânea se adequa bem à definição dada em sala.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um objeto que se move de acordo com a função horária $ x(t) = bt + ct^{3} $, onde $ b = 1,5 , m/s $ e $ c = 1,5 , m/s^{3} $. O objetivo é encontrar a velocidade média do objeto em diferentes intervalos de tempo e depois calcular a velocidade instantânea em $ t = 2 , s $. Para isso, vamos precisar entender como calcular velocidade média e instantânea usando cálculo básico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade média entre dois instantes de tempo $ t_1 $ e $ t_2 $ é dada pela fórmula:
Isso basicamente nos diz a velocidade “média” que o objeto teve entre esses dois tempos.
Passo 3
Vamos calcular a posição $ x(t) $ nos instantes dados usando a função horária $ x(t) = bt + ct^{3} $.
Para $ b = 1,5 , m/s $ e $ c = 1,5 , m/s^{3} $, a função fica:
Passo 4
Parte (a): $ t_1 = 1,5 , s $ e $ t_2 = 2,5 , s $
Calculamos $ x(1,5) $ e $ x(2,5) $:
Agora, a velocidade média:
Passo 5
Parte (b): $ t_1 = 1,75 , s $ e $ t_2 = 2,25 , s $
Calculando $ x(1,75) $ e $ x(2,25) $:
Velocidade média:
Passo 6
Parte ©: $ t_1 = 1,95 , s $ e $ t_2 = 2,05 , s $
Calculando $ x(1,95) $ e $ x(2,05) $:
Velocidade média:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a velocidade instantânea. Para isso, derivamos a função posição $ x(t) $ em relação ao tempo.
A derivada de $ x(t) = bt + ct^{3} $ é:
Substituindo $ b = 1,5 , m/s $ e $ c = 1,5 , m/s^{3} $:
Passo 8
Vamos calcular a velocidade instantânea em $ t = 2 , s $:
Passo 9
Agora, vamos comparar a velocidade instantânea em $ t = 2 , s $ com as velocidades médias calculadas:
- Parte (a): $ 19,875 , m/s $
- Parte (b): $ 19,59375 , m/s $
- Parte ©: $ 19,616875 , m/s $
- Velocidade instantânea: $ 19,5 , m/s $
Observamos que conforme os intervalos de tempo ficam mais próximos de $ t = 2 , s $, as velocidades médias se aproximam cada vez mais da velocidade instantânea de $ 19,5 , m/s $. Isso mostra que a definição de velocidade instantânea está alinhada com a ideia de considerar intervalos de tempo cada vez menores ao redor do instante desejado.
Resposta
A velocidade média do objeto nos intervalos (a) 1,5 s a 2,5 s é
, em (b) 1,75 s a 2,25 s é
, e em © 1,95 s a 2,05 s é
. A velocidade instantânea em $ t = 2 , s $ é
, que se aproxima dos valores médios conforme os intervalos se aproximam de $ t = 2 , s $, confirmando a definição de velocidade instantânea.