Um objeto se move com função horária da posição dada por
. onde uma constante. Encontre uma expressão para a velocidade instantânea e mostre que a velocidade média sob um intervalo de tempo de
até um tempo
qualquer é um quarto da velocidade instantânea calculada no instante
.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um problema de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. A posição do objeto está descrita pela função $ x(t) = bt^4 $, onde $ b $ é uma constante e $ t $ é o tempo. Nosso objetivo é:
- Encontrar a velocidade instantânea, que mostra quão rápido o objeto está se movendo em um instante específico.
- Mostrar que a velocidade média no intervalo de $ t = 0 $ até um tempo qualquer $ t $ é um quarto da velocidade instantânea nesse mesmo instante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade instantânea. Na física, a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que precisamos calcular a derivada de $ x(t) $ em relação a $ t $.
Passo 3
Vamos usar a regra do poder para derivar $ x(t) = bt^4 $. A regra do poder nos diz que:
Aplicando isso:
Então, a velocidade instantânea é $ v(t) = 4bt^3 $.
Passo 4
Agora, vamos calcular a velocidade média no intervalo de $ t = 0 $ até um tempo qualquer $ t $. A velocidade média é a variação da posição dividida pelo intervalo de tempo:
Sabemos que $ x(t) = bt^4 $ e $ x(0) = b \cdot 0^4 = 0 $. Então:
Passo 5
Vamos comparar a velocidade média com a velocidade instantânea:
Observamos que:
Ou seja, a velocidade média é um quarto da velocidade instantânea no mesmo instante $ t $.
Resposta
A velocidade média no intervalo de $ t = 0 $ até um tempo qualquer $ t $ é um quarto da velocidade instantânea nesse instante, ou seja: