Um objeto se move com rapidez constante ao longo de uma trajetória que corresponde a uma circunferência. Qual das afirmações abaixo descreve corretamente o movimento?
a. O vetor aceleração resultante do objeto é nulo.
b. O vetor aceleração resultante do objeto varia continuamente com o tempo.
c. O vetor velocidade instantânea do objeto tem direção radial e varia com o tempo.
d. O vetor aceleração resultante do objeto é tangente à trajetória e mantém constante o módulo da velocidade.
e. O movimento do objeto não é periódico.

Passo 1

O enunciado dá uma única informação importante: um objeto se move com rapidez constante ao longo de uma trajetória que é uma circunferência. A pergunta pede que se escolha entre as alternativas (a) a (e) qual descreve corretamente esse movimento.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A trajetória é uma circunferência (raio fixo).
  • A rapidez (módulo da velocidade) é constante ao longo do tempo.

Passo 2

Vamos lembrar o que é rapidez, velocidade e aceleração (sem pressa, passo a passo).
  • Rapidez é um número: é o módulo da velocidade. Vou representar isso por |\vec{v}|. Quando o enunciado diz “rapidez constante”, quer dizer que |\vec{v}(t)| é constante.
  • Velocidade \vec{v}(t) é um vetor: tem intensidade (rapidez), direção e sentido. Mesmo que a rapidez seja constante, a direção da velocidade pode mudar.
  • Aceleração \vec{a}(t) é a derivada temporal da velocidade: \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}. Se a direção da velocidade muda, \vec{a} geralmente não é nulo, mesmo que |\vec{v}| seja constante.

Passo 3

Modelar matematicamente o movimento para visualizar direções. Escolho um referencial no plano da circunferência com centro na origem e raio R. A posição \vec{r}(t) de um ponto que se move uniformemente na circunferência pode ser escrita assim:
\vec{r}(t)=R\big(\cos\theta(t),\;\sin\theta(t)\big),
onde \theta(t) é o ângulo polar que o raio vetor faz com o eixo x. Como a rapidez é constante e a trajetória é circunferência, o ângulo varia com velocidade angular constante \omega, isto é,
\theta(t)=\omega t+\theta_0.
A relação entre rapidez v (linear) e velocidade angular \omega é
v=R\omega.

Passo 4

Calcular a velocidade \vec{v}(t) derivando \vec{r}(t). Derivando coordenada a coordenada:
\vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}=R\dot{\theta}(t)\big(-\sin\theta(t),\;\cos\theta(t)\big).
Como \dot{\theta}=\omega (constante), fica
\vec{v}(t)=R\omega\big(-\sin\theta(t),\;\cos\theta(t)\big).
Observações importantes daqui:
  • \vec{v}(t) é perpendicular ao raio \vec{r}(t) em todo instante (ou seja, é tangente à circunferência).
  • O módulo de \vec{v} é |\vec{v}|=R\omega=v, constante, conforme dado.

Passo 5

Calcular a aceleração \vec{a}(t) derivando \vec{v}(t):
\vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}=R\ddot{\theta}(t)\big(-\sin\theta,\cos\theta\big)+R\dot{\theta}(t)^2\big(-\cos\theta,-\sin\theta\big).
Como \dot{\theta}=\omega é constante e \ddot{\theta}=0, simplifica para
\vec{a}(t)= -R\omega^2\big(\cos\theta(t),\;\sin\theta(t)\big).
Isso pode ser escrito como
\vec{a}(t)=-\omega^2\vec{r}(t).
Interpretação:
  • \vec{a}(t) aponta ao longo do raio, em direção ao centro (sinal negativo em relação a \vec{r}): é uma aceleração radial centrípeta.
  • O módulo de \vec{a} é constante:
|\vec{a}|=R\omega^2=\dfrac{v^2}{R}.
  • Mesmo tendo módulo constante, a direção de \vec{a}(t) muda com o tempo porque depende de \theta(t) — o vetor aceleração gira junto com o raio.

Passo 6

Comparação com as alternativas, uma a uma, usando as conclusões acima:
  • (a) “O vetor aceleração resultante do objeto é nulo.” — falso. Mostramos que \vec{a}(t)=-R\omega^2(\cos\theta,\sin\theta), cujo módulo é \dfrac{v^2}{R}\neq 0. Logo aceleração não é nula.
  • (b) “O vetor aceleração resultante do objeto varia continuamente com o tempo.” — verdadeiro. O módulo de \vec{a} é constante, mas a direção varia continuamente porque \vec{a}(t) aponta para o centro e o raio gira com \theta(t)=\omega t+\theta_0. Portanto o vetor \vec{a}(t) muda suavemente ao longo do tempo.
  • (c) “O vetor velocidade instantânea do objeto tem direção radial e varia com o tempo.” — falso. A velocidade tem direção tangencial, não radial; a velocidade varia com o tempo apenas na direção (o módulo é constante), mas a afirmação diz que a direção é radial, o que é incorreto.
  • (d) “O vetor aceleração resultante do objeto é tangente à trajetória e mantém constante o módulo da velocidade.” — falso. A afirmação acerta ao dizer que o módulo da velocidade é mantido constante, mas erra ao dizer que a aceleração é tangente. Na verdade a aceleração é radial (centrípeta), perpendicular à velocidade.
  • (e) “O movimento do objeto não é periódico.” — falso. O movimento é periódico: como \theta(t)=\omega t+\theta_0, após um período
T=\dfrac{2\pi}{\omega}
a posição e a velocidade repetem-se. Logo o movimento é periódico.

Passo 7

Recapitulando de forma bem direta e amigável: em movimento circular com rapidez constante, a velocidade é tangencial (direção perpendicular ao raio), a aceleração é radial apontando para o centro com módulo \dfrac{v^2}{R} e sua direção gira continuamente conforme o objeto descreve a circunferência. Por isso a única alternativa correta é (b).

Resposta

b

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