Um objeto se move com rapidez constante ao longo de uma trajetória que corresponde a uma circunferência. Qual das afirmações abaixo descreve corretamente o movimento?
a. O vetor aceleração resultante do objeto é nulo.
b. O vetor aceleração resultante do objeto varia continuamente com o tempo.
c. O vetor velocidade instantânea do objeto tem direção radial e varia com o tempo.
d. O vetor aceleração resultante do objeto é tangente à trajetória e mantém constante o módulo da velocidade.
e. O movimento do objeto não é periódico.
a. O vetor aceleração resultante do objeto é nulo.
b. O vetor aceleração resultante do objeto varia continuamente com o tempo.
c. O vetor velocidade instantânea do objeto tem direção radial e varia com o tempo.
d. O vetor aceleração resultante do objeto é tangente à trajetória e mantém constante o módulo da velocidade.
e. O movimento do objeto não é periódico.
Passo 1
O enunciado dá uma única informação importante: um objeto se move com rapidez constante ao longo de uma trajetória que é uma circunferência. A pergunta pede que se escolha entre as alternativas (a) a (e) qual descreve corretamente esse movimento.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A trajetória é uma circunferência (raio fixo).
- A rapidez (módulo da velocidade) é constante ao longo do tempo.
Passo 2
Vamos lembrar o que é rapidez, velocidade e aceleração (sem pressa, passo a passo).
- Rapidez é um número: é o módulo da velocidade. Vou representar isso por
. Quando o enunciado diz “rapidez constante”, quer dizer que é constante. - Velocidade
é um vetor: tem intensidade (rapidez), direção e sentido. Mesmo que a rapidez seja constante, a direção da velocidade pode mudar. - Aceleração
é a derivada temporal da velocidade: . Se a direção da velocidade muda, geralmente não é nulo, mesmo que seja constante.
Passo 3
Modelar matematicamente o movimento para visualizar direções. Escolho um referencial no plano da circunferência com centro na origem e raio
. A posição
de um ponto que se move uniformemente na circunferência pode ser escrita assim:
onde
é o ângulo polar que o raio vetor faz com o eixo
. Como a rapidez é constante e a trajetória é circunferência, o ângulo varia com velocidade angular constante
, isto é,
A relação entre rapidez
(linear) e velocidade angular
é
Passo 4
Calcular a velocidade
derivando
. Derivando coordenada a coordenada:
Como
(constante), fica
Observações importantes daqui:
-
é perpendicular ao raio em todo instante (ou seja, é tangente à circunferência). - O módulo de
é , constante, conforme dado.
Passo 5
Calcular a aceleração
derivando
:
Como
é constante e
, simplifica para
Isso pode ser escrito como
Interpretação:
-
aponta ao longo do raio, em direção ao centro (sinal negativo em relação a ): é uma aceleração radial centrípeta. - O módulo de
é constante:
- Mesmo tendo módulo constante, a direção de
muda com o tempo porque depende de — o vetor aceleração gira junto com o raio.
Passo 6
Comparação com as alternativas, uma a uma, usando as conclusões acima:
- (a) “O vetor aceleração resultante do objeto é nulo.” — falso. Mostramos que
, cujo módulo é . Logo aceleração não é nula. - (b) “O vetor aceleração resultante do objeto varia continuamente com o tempo.” — verdadeiro. O módulo de
é constante, mas a direção varia continuamente porque aponta para o centro e o raio gira com . Portanto o vetor muda suavemente ao longo do tempo. - (c) “O vetor velocidade instantânea do objeto tem direção radial e varia com o tempo.” — falso. A velocidade tem direção tangencial, não radial; a velocidade varia com o tempo apenas na direção (o módulo é constante), mas a afirmação diz que a direção é radial, o que é incorreto.
- (d) “O vetor aceleração resultante do objeto é tangente à trajetória e mantém constante o módulo da velocidade.” — falso. A afirmação acerta ao dizer que o módulo da velocidade é mantido constante, mas erra ao dizer que a aceleração é tangente. Na verdade a aceleração é radial (centrípeta), perpendicular à velocidade.
- (e) “O movimento do objeto não é periódico.” — falso. O movimento é periódico: como
, após um período
a posição e a velocidade repetem-se. Logo o movimento é periódico.
Passo 7
Recapitulando de forma bem direta e amigável: em movimento circular com rapidez constante, a velocidade é tangencial (direção perpendicular ao raio), a aceleração é radial apontando para o centro com módulo
e sua direção gira continuamente conforme o objeto descreve a circunferência. Por isso a única alternativa correta é (b).
Resposta
b