O professor pediu para medir o volume de uma caixa de isopor, um paralelepipedo regular, cuja altura (A), largura (L) e comprimento \text{(C)} medidos foram A=20 \mathrm{~cm} ; L=30 \mathrm{~cm} ; C=40 \mathrm{~cm}. Para isto, foi utilizada uma trena milimetrada. Considerando somente a incerteza do instrumento (trena), qual o valor da incerteza no cálculo do volume? \sigma=\frac{a}{k}=\frac{1 \mathrm{~mm}}{2}=0,5 \mathrm{~mm}

Passo 1

O enunciado fornece as dimensões medidas da caixa e a incerteza do instrumento. Dados:
  • Altura: A=20\\ \mathrm{cm}.
  • Largura: L=30\\ \mathrm{cm}.
  • Comprimento: C=40\\ \mathrm{cm}.
  • Incerteza do instrumento (trena): \sigma=\dfrac{a}{k}=\dfrac{1\\ \mathrm{mm}}{2}=0,5\\ \mathrm{mm}.
O que se pede: determinar a incerteza no volume calculado da caixa, considerando somente a incerteza do instrumento.

Passo 2

Primeiro, colocar todas as unidades consistentes. Convertendo a incerteza do instrumento para centímetros:
0,5\\ \mathrm{mm}=0,05\\ \mathrm{cm}.
Como a mesma trena foi usada para todas as medidas, assumimos incerteza igual para as três dimensões:
\sigma_A=\sigma_L=\sigma_C=0,05\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Apresentando a fórmula de propagação de incertezas para produto: o volume é
V=A\cdot L\cdot C.
Para incertezas pequenas e variáveis independentes, a variância do volume é dada por (fórmula do primeiro orde):
\sigma_V^2=\left(\frac{\partial V}{\partial A}\right)^2\sigma_A^2+\left(\frac{\partial V}{\partial L}\right)^2\sigma_L^2+\left(\frac{\partial V}{\partial C}\right)^2\sigma_C^2.
Calcule os derivativos parciais:
\frac{\partial V}{\partial A}=L\cdot C,\qquad \frac{\partial V}{\partial L}=A\cdot C,\qquad \frac{\partial V}{\partial C}=A\cdot L.
Substituindo,
\sigma_V^2=(L C)^2\sigma_A^2+(A C)^2\sigma_L^2+(A L)^2\sigma_C^2.
É frequentemente mais prático usar a forma relativa (para produtos):
\left(\frac{\sigma_V}{V}\right)^2=\left(\frac{\sigma_A}{A}\right)^2+\left(\frac{\sigma_L}{L}\right)^2+\left(\frac{\sigma_C}{C}\right)^2,
que se obtém dividindo a expressão anterior por V^2=(A L C)^2.

Passo 4

Calcule o volume nominal:
V=20\cdot30\cdot40=24000\\ \mathrm{cm}^3.
Calcule as incertezas relativas de cada dimensão:
\frac{\sigma_A}{A}=\frac{0,05}{20}=0,0025, \qquad \frac{\sigma_L}{L}=\frac{0,05}{30}\approx0,001666\ldots, \qquad \frac{\sigma_C}{C}=\frac{0,05}{40}=0,00125.
Agora a soma dos quadrados:
\left(\frac{\sigma_V}{V}\right)^2=(0,0025)^2+(0,001666\ldots)^2+(0,00125)^2
=6{,}25\times10^{-6}+2{,}777\ldots\times10^{-6}+1{,}5625\times10^{-6} \approx1{,}1590\times10^{-5}.
Raiz quadrada:
\frac{\sigma_V}{V}\approx\sqrt{1{,}1590\times10^{-5}}\approx0{,}003403.
Finalmente a incerteza absoluta no volume:
\sigma_V=V\cdot\frac{\sigma_V}{V}=24000\cdot0{,}003403\approx81{,}7\\ \mathrm{cm}^3.
Arredondando de forma compatível com a incerteza, fica \sigma_V\approx82\\ \mathrm{cm}^3. Em porcentagem, a incerteza relativa é cerca de 0{,}34\%.

Passo 5

Como resultado prático para reportar: o volume com sua incerteza (considerando só a trena) é
V=(24000\pm82)\\ \mathrm{cm}^3.

Resposta

\sigma_V\approx82\\ \mathrm{cm}^3

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