Obtenha um valor aproximado para o volume de uma fina coroa cilíndrica de altura 12 metros, raio interior 7 metros e espessura 0,05 metro. Qual é o erro decorrente se resolvermos usando diferenciais?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume de uma coroa cilíndrica fininha que tem 12 metros de altura, raio interno de 7 metros e uma espessura de 0,05 metro. Vamos usar conhecimentos de Cálculo, especificamente de diferenciais, para fazer essa aproximação. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o volume de um cilindro e como aplicar os diferenciais para estimar mudanças pequenas no raio.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume exato da coroa cilíndrica. Uma coroa é basicamente a diferença entre o volume de um cilindro maior (com raio externo) e um cilindro menor (com raio interno).
O raio externo é o raio interno mais a espessura:
Rexterno = Rinterno + De
O volume de um cilindro é dado por:
V = pi R^2 h
Então, o volume da coroa é:
Vexato = pi (7,05)^2 times 12 - pi (7)^2 times 12
Vamos calcular isso:
Vexato = pi times (49,7025 - 49) times 12
Vexato = pi times 0,7025 times 12
Vexato approx 3,1416 times 0,7025 times 12
Vexato approx 26,57,m³ ³

Passo 3

Agora, vamos usar diferenciais para aproximar esse volume. Diferenciais nos ajudam a estimar mudanças pequenas em uma função. Aqui, estamos vendo como uma pequena mudança no raio ( De) afeta o volume ( De).
A fórmula do diferencial para o volume de um cilindro é:
dV = 2pi R h , dR
Onde:
  • $ R $ é o raio interno
  • $ h $ é a altura
  • $ dR $ é a pequena mudança no raio (nossa espessura, 0,05 m)
Então, substituindo os valores:
R
h
dR
dV = 2 pi times 7 times 12 times 0,05
dV = 2 pi times 7 times 12 times 0,05
dV = 2 pi times 7 times 0,6 ³

Passo 4

Agora, vamos calcular o erro dessa aproximação. O erro é a diferença entre o volume exato e o aproximado.
Erro = |Vexato - dV|
Erro = |26,57,m³ - 26,389,m³| ³³
Erro approx 0,181,m³ ³

Resposta

O volume aproximado da coroa cilíndrica usando diferenciais é de aproximadamente 26,39,m³³ e o erro dessa aproximação é de cerca de 0,18,m³³.

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