Obtenha um valor aproximado para o volume de uma fina coroa cilíndrica de altura 12 metros, raio interior 7 metros e espessura 0,05 metro. Qual é o erro decorrente se resolvermos usando diferenciais?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume de uma coroa cilíndrica fininha que tem 12 metros de altura, raio interno de 7 metros e uma espessura de 0,05 metro. Vamos usar conhecimentos de Cálculo, especificamente de diferenciais, para fazer essa aproximação. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o volume de um cilindro e como aplicar os diferenciais para estimar mudanças pequenas no raio.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume exato da coroa cilíndrica. Uma coroa é basicamente a diferença entre o volume de um cilindro maior (com raio externo) e um cilindro menor (com raio interno).
O raio externo é o raio interno mais a espessura:
O volume de um cilindro é dado por:
Então, o volume da coroa é:
Vamos calcular isso:
Passo 3
Agora, vamos usar diferenciais para aproximar esse volume. Diferenciais nos ajudam a estimar mudanças pequenas em uma função. Aqui, estamos vendo como uma pequena mudança no raio (
) afeta o volume (
).
A fórmula do diferencial para o volume de um cilindro é:
Onde:
- $ R $ é o raio interno
- $ h $ é a altura
- $ dR $ é a pequena mudança no raio (nossa espessura, 0,05 m)
Então, substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos calcular o erro dessa aproximação. O erro é a diferença entre o volume exato e o aproximado.
Resposta
O volume aproximado da coroa cilíndrica usando diferenciais é de aproximadamente
e o erro dessa aproximação é de cerca de
.