Questão 5: (1,25 ponto) Um avião decola e segue inicialmente uma trajetória retilínea por 3 km, formando um ângulo de 30^{\circ} com a horizontal. Se a força gravitacional realizou um trabalho de -1,5 \times 10^{8} \mathrm{~J}, a massa do avião em kg vale:
Dados: Aceleração da gravidade g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}; \operatorname{sen} 30^{\circ}=0,5 ; \quad \cos 30^{\circ}=0,9 ; \quad \operatorname{sen} 90^{\circ}=1 ; \cos 90^{\circ}=0 ; \quad \operatorname{sen} 120^{\circ}=-0,5 ; \quad \cos 120^{\circ}=0,9
a) 5.000
b) 4.500
c) 1.500
d) 10.000
e) 1.000
f) 2.000
g) 20.000
h) 50.000

Passo 1

O enunciado pede a massa do avião, sabendo que a força gravitacional fez trabalho de -1,5\times 10^{8} J enquanto o avião percorreu uma trajetória retilínea de 3 km formando um ângulo de 30^{\circ} com a horizontal. Dados fornecidos:
W_{\text{grav}} = -1,5\times 10^{8}\\ \text{J},
s = 3\\ \text{km},
\text{ângulo da trajetória com a horizontal} = 30^{\circ},âó
g = 10\\ \text{m/s}^2,
e os valores trigonométricos úteis fornecidos: \operatorname{sen} 30^{\circ}=0,5 (usaremos este valor). A incógnita é a massa m do avião em kg.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida, sem pânico): o trabalho de uma força constante é dado pelo produto escalar entre a força \vec{F} e o deslocamento \vec{s}:
W = \vec{F}\cdot\vec{s} = F\,s\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre a direção da força e a do deslocamento. No caso da gravidade, a força é \vec{F}_g = m\vec{g} apontando para baixo (módulo mg). Se o avião sobe com deslocamento \vec{s} fazendo 30^{\circ} com a horizontal, a componente vertical do deslocamento (a elevação) é h = s\operatorname{sen} 30^{\circ}. O trabalho da gravidade pode também ser escrito diretamente como
W_{\text{grav}} = -\,m g h,
porque a gravidade realiza trabalho negativo quando o objeto ganha altura (o sinal negativo indica que a força e o deslocamento vertical estão em sentidos opostos). Isso é equivalente a usar o produto escalar com o ângulo entre \vec{g} (para baixo) e \vec{s} (para cima inclinada).

Passo 3

Converter unidades e calcular a elevação h.
Primeiro passar s para metros:
s = 3\\ \text{km} = 3000\\ \text{m}.
Agora a elevação:
h = s\operatorname{sen} 30^{\circ} = 3000\cdot 0,5 = 1500\\ \text{m}.

Passo 4

Usar a fórmula do trabalho da gravidade e isolar m. Temos
W_{\text{grav}} = -\,m g h.
Substituindo W_{\text{grav}}=-1,5\times 10^{8}\\ \text{J}, g=10\\ \text{m/s}^2 e h=1500\\ \text{m}:
-1,5\times 10^{8} = -\,m \cdot 10 \cdot 1500.
Simplificando o lado direito:
-1,5\times 10^{8} = -\,m \cdot 15000.

Passo 5

Isolar m:
m = \frac{1,5\times 10^{8}}{15000}.
Fazendo a divisão:
15000 = 1,5\times 10^{4},\quad\text{logo}\quad m=\frac{1,5\times 10^{8}}{1,5\times 10^{4}}=10^{4}.
Portanto
m = 10000\\ \text{kg}.

Passo 6

Checagem rápida: o sinal negativo do trabalho bate com a subida do avião (gravidade faz trabalho negativo). O valor numérico é consistente com a conta feita passo a passo e corresponde à alternativa disponível.

Resposta

10.000

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