Questão 5: (1,25 ponto) Um avião decola e segue inicialmente uma trajetória retilínea por 3 km, formando um ângulo de
com a horizontal. Se a força gravitacional realizou um trabalho de
, a massa do avião em kg vale:
Dados: Aceleração da gravidade
;
a) 5.000
b) 4.500
c) 1.500
d) 10.000
e) 1.000
f) 2.000
g) 20.000
h) 50.000
a) 5.000
b) 4.500
c) 1.500
d) 10.000
e) 1.000
f) 2.000
g) 20.000
h) 50.000
Passo 1
O enunciado pede a massa do avião, sabendo que a força gravitacional fez trabalho de
J enquanto o avião percorreu uma trajetória retilínea de
km formando um ângulo de
com a horizontal. Dados fornecidos:
e os valores trigonométricos úteis fornecidos:
(usaremos este valor). A incógnita é a massa
do avião em kg.
Passo 2
Conceito importante (aula rápida, sem pânico): o trabalho de uma força constante é dado pelo produto escalar entre a força
e o deslocamento
:
onde
é o ângulo entre a direção da força e a do deslocamento. No caso da gravidade, a força é
apontando para baixo (módulo
). Se o avião sobe com deslocamento
fazendo
com a horizontal, a componente vertical do deslocamento (a elevação) é
. O trabalho da gravidade pode também ser escrito diretamente como
porque a gravidade realiza trabalho negativo quando o objeto ganha altura (o sinal negativo indica que a força e o deslocamento vertical estão em sentidos opostos). Isso é equivalente a usar o produto escalar com o ângulo entre
(para baixo) e
(para cima inclinada).
Passo 3
Converter unidades e calcular a elevação
.
Primeiro passar para metros:
Primeiro passar
Agora a elevação:
Passo 4
Usar a fórmula do trabalho da gravidade e isolar
. Temos
Substituindo
,
e
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Isolar
:
Fazendo a divisão:
Portanto
Passo 6
Checagem rápida: o sinal negativo do trabalho bate com a subida do avião (gravidade faz trabalho negativo). O valor numérico é consistente com a conta feita passo a passo e corresponde à alternativa disponível.