Um objeto não identificado aparece no céu e descreve uma trajetória retilínea descrita pela equação
. Após atingir a velocidade do som (
) ele desaparece.
(a) Obtenha a expressão para a equação horária de posição
e aceleração
.
(b) Durante quanto tempo o objeto é visto no céu? E qual a distância percorrida.
(a) Obtenha a expressão para a equação horária de posição
(b) Durante quanto tempo o objeto é visto no céu? E qual a distância percorrida.
Passo 1
O enunciado dá a velocidade do objeto como função do tempo e pede duas coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados (retirados do enunciado):
- A velocidade é
- O objeto desaparece quando atinge a velocidade do som:
- Interpretação natural: o objeto aparece no céu em
(ou seja, a observação começa em ). - Para calcular a posição relativa percorrida vou assumir a condição inicial padrão
(posição de referência no aparecimento).
Perguntas:
(a) Obter expressões para a equação horária da posição e para a aceleração
.
(b) Determinar durante quanto tempo o objeto é visto (ou seja, o tempo até desaparecer) e qual a distância percorrida enquanto foi observado.
(a) Obter expressões para a equação horária da posição
(b) Determinar durante quanto tempo o objeto é visto (ou seja, o tempo até desaparecer) e qual a distância percorrida enquanto foi observado.
Passo 2
O que é aceleração e como calcular? A aceleração instantânea
é a taxa de variação da velocidade em função do tempo, isto é a derivada de
em relação a
:
Regra que vamos usar: a derivada de um polinômio
é
. Aplicando isso a cada termo de
:
Calculemos a derivada termo a termo:
Portanto
Passo 3
O que é a equação horária da posição e como obter? A posição
é uma primitiva (antiderivada) da velocidade: integrar
em relação a
. A regra que vamos usar:
, e
.
Integramos
:
Aplicando as fórmulas:
Então a primitiva geral é
onde
é a constante de integração, igual à posição inicial
.
Passo 4
Impondo a condição inicial que assumimos (
) encontramos
. Assim a equação horária usada para a observação é
Observação sobre unidades:
em segundos dá
em
multiplicado pela unidade apropriada da velocidade integrada resulta em metros — manter esse cuidado na hora da prova.
Passo 5
Agora achar o tempo até desaparecer: resolver
. Escrevemos a equação e isolamos
:
Subtraindo
:
Extraindo raiz:
Como tempo físico aqui é não negativo e adotamos a observação a partir de
, tomamos a raiz positiva:
Passo 6
Assim, o objeto é visto desde
até
. Portanto o tempo de observação (duração) é
Passo 7
Agora calcular a distância percorrida durante esse intervalo. A distância percorrida (no caso sem reversão de movimento) é o deslocamento
. Usando a expressão para
com
:
Calculemos passo a passo:
Então
E
Somando,
Como
, a distância percorrida durante o tempo observado é
.
Resposta
(a)
(b) Tempo visto:
Distância percorrida:
Distância percorrida: