Um objeto não identificado aparece no céu e descreve uma trajetória retilínea descrita pela equação v(t)=\left(t^{2}\right. +19)(\mathrm{m} / \mathrm{s}). Após atingir a velocidade do som ( 343 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ) ele desaparece.
(a) Obtenha a expressão para a equação horária de posição x(t) e aceleração a(t).
(b) Durante quanto tempo o objeto é visto no céu? E qual a distância percorrida.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade do objeto como função do tempo e pede duas coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados (retirados do enunciado):
  • A velocidade é \,v(t)=\bigl(t^{2}+19\bigr)\\ \mathrm{m/s}.
  • O objeto desaparece quando atinge a velocidade do som: \,343\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação natural: o objeto aparece no céu em t=0 (ou seja, a observação começa em t=0).
  • Para calcular a posição relativa percorrida vou assumir a condição inicial padrão \,x(0)=0 (posição de referência no aparecimento).
Perguntas:
(a) Obter expressões para a equação horária da posição \,x(t) e para a aceleração \,a(t).
(b) Determinar durante quanto tempo o objeto é visto (ou seja, o tempo até desaparecer) e qual a distância percorrida enquanto foi observado.

Passo 2

O que é aceleração e como calcular? A aceleração instantânea \,a(t) é a taxa de variação da velocidade em função do tempo, isto é a derivada de \,v(t) em relação a \,t:
a(t)=\frac{dv}{dt}.
Regra que vamos usar: a derivada de um polinômio \,t^{n} é n\,t^{n-1}. Aplicando isso a cada termo de \,v(t)=t^{2}+19:
Calculemos a derivada termo a termo:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=2t, \qquad \frac{d}{dt}(19)=0.
Portanto
a(t)=2t\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

O que é a equação horária da posição e como obter? A posição \,x(t) é uma primitiva (antiderivada) da velocidade: integrar \,v(t) em relação a \,t. A regra que vamos usar: \displaystyle\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C, e \displaystyle\int \text{constante}\,dt=\text{constante}\cdot t + C.
Integramos \,v(t)=t^{2}+19:
x(t)=\int \bigl(t^{2}+19\bigr)\,dt = \int t^{2}\,dt + \int 19\,dt.
Aplicando as fórmulas:
\int t^{2}\,dt=\frac{t^{3}}{3},\qquad \int 19\,dt=19t.
Então a primitiva geral é
x(t)=\frac{t^{3}}{3}+19t + C,
onde C é a constante de integração, igual à posição inicial x(0).

Passo 4

Impondo a condição inicial que assumimos ( x(0)=0) encontramos C=0. Assim a equação horária usada para a observação é
x(t)=\frac{t^{3}}{3}+19t\\ \mathrm{(metros)}.
Observação sobre unidades: \,t em segundos dá \,t^{3}/3 em \mathrm{s^{3}} multiplicado pela unidade apropriada da velocidade integrada resulta em metros — manter esse cuidado na hora da prova.

Passo 5

Agora achar o tempo até desaparecer: resolver \,v(t)=343\\ \mathrm{m/s}. Escrevemos a equação e isolamos \,t:
t^{2}+19=343.
Subtraindo 19:
t^{2}=343-19=324.
Extraindo raiz:
t=\pm\sqrt{324}=\pm 18.
Como tempo físico aqui é não negativo e adotamos a observação a partir de t=0, tomamos a raiz positiva:
t_{\text{desaparece}}=18\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Assim, o objeto é visto desde t=0 até t=18\\ \mathrm{s}. Portanto o tempo de observação (duração) é
\Delta t = 18\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Agora calcular a distância percorrida durante esse intervalo. A distância percorrida (no caso sem reversão de movimento) é o deslocamento \,x(18)-x(0). Usando a expressão para \,x(t) com x(0)=0:
x(18)=\frac{18^{3}}{3}+19\cdot 18.
Calculemos passo a passo:
18^{2}=324,\qquad 18^{3}=18\cdot 324=5832.
Então
\frac{18^{3}}{3}=\frac{5832}{3}=1944.
E
19\cdot 18=342.
Somando,
x(18)=1944+342=2286\\ \mathrm{m}.
Como x(0)=0, a distância percorrida durante o tempo observado é 2286\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) x(t)=\dfrac{t^{3}}{3}+19t\\ \mathrm{m},\qquad a(t)=2t\\ \mathrm{m/s^{2}}
(b) Tempo visto: 18\\ \mathrm{s}
Distância percorrida: 2286\\ \mathrm{m}

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