A velocidade de uma partícula é
, com
em segundos e
em metros por segundo. (a) Fazer o gráfico de
em função de
, achar a área subtendida pela curva no intervalo de
até
. (b) Achar a função posição
. Com essa função, calcular o deslocamento entre
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a velocidade como função do tempo e pede duas coisas:
- Dados fornecidos:
-
, com em segundos e em metros por segundo. - Intervalo de interesse:
. - Não foi dada posição inicial (logo
é uma constante arbitrária que chamaremos de ).
-
- O que o enunciado pede:
- (a) Fazer o gráfico de
em função de e achar a área sob a curva no intervalo até . - (b) Achar a função posição
e, com ela, calcular o deslocamento entre e .
- (a) Fazer o gráfico de
Passo 2
Como esboçar o gráfico de
(passo a passo simples para fazer à mão):
- Calcular dois pontos fáceis da reta:
e . - Marcar no plano
(eixo horizontal) e (eixo vertical) os pontos e . - Como
é uma função linear de coeficiente angular , basta ligar esses dois pontos por uma reta.
Observação física rápida: a inclinaçãoé a aceleração constante (em ), mas isso é só contexto — para o gráfico basta saber que é uma reta crescente.
Passo 3
Entendendo o que significa “área sob a curva” de
:
- Em cinemática, a área sob a curva velocidade vs tempo entre
e é exatamente o deslocamento . - Matematicamente, isso é a integral definida
Aqui temos
e
, e
. Vamos calcular a integral.
Passo 4
Calcular a área usando integração (explicando a regra usada):
- Regra básica de antiderivadas que vamos usar: a antiderivada de
é e a de uma constante é . - Para
a antiderivada é
onde
é a constante de integração.
- A integral definida de
a é
- Calculando:
portanto
- Unidade: velocidade (
) vezes tempo ( ) dá metros, então a área é . Esse é o deslocamento entre e segundos.
Passo 5
Calcular a área usando geometria como verificação (método alternativo fácil de fazer sem integrar):
- A curva
entre e é uma reta; a área sob ela é a área de um trapézio de bases e e altura (base do trapézio) . - Fórmula do trapézio: área
. Aqui:
- Ou dividir em um retângulo de altura
(área ) + triângulo com base e altura (área ); soma . Confere com a integral.
Passo 6
Achar a função posição
(passo a passo e interpretação da constante):
- A posição é uma antiderivada da velocidade:
onde
é a posição inicial genérica
.
- Se escolhermos a convenção comum
(para um gráfico com origem na posição inicial), então
- Observação importante: o deslocamento entre dois instantes independe de
, porque
coincidindo com o resultado da integral/área.
Passo 7
Interpretação final e unidades:
- A área sob
entre e é ; fisicamente, isso significa que a partícula se deslocou no intervalo. - A função posição (com posição inicial
) é . Tomando fica .
Resposta
(a) Gráfico: reta
passando por
e
. Área sob a curva em
:
.
(b) Função posição geral:
. Tomando
:
. Deslocamento entre
e
:
.