A velocidade de uma partícula é v= 6 t+3, com t em segundos e v em metros por segundo. (a) Fazer o gráfico de v(t) em função de t, achar a área subtendida pela curva no intervalo de t=0 até t=5 s. (b) Achar a função posição x(t). Com essa função, calcular o deslocamento entre t=0 e t=5 s.

Passo 1

O enunciado nos dá a velocidade como função do tempo e pede duas coisas:
  • Dados fornecidos:
    • v(t)=6t+3, com t em segundos e v em metros por segundo.
    • Intervalo de interesse: t\in[0,5].
    • Não foi dada posição inicial (logo x(0) é uma constante arbitrária que chamaremos de x_0).
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Fazer o gráfico de v(t) em função de t e achar a área sob a curva no intervalo t=0 até t=5.
    • (b) Achar a função posição x(t) e, com ela, calcular o deslocamento entre t=0 e t=5.

Passo 2

Como esboçar o gráfico de v(t) (passo a passo simples para fazer à mão):
  • Calcular dois pontos fáceis da reta: \,v(0)=6\cdot0+3=3 e \,v(5)=6\cdot5+3=30+3=33.
  • Marcar no plano t (eixo horizontal) e v (eixo vertical) os pontos (0,3) e (5,33).
  • Como v(t) é uma função linear de coeficiente angular 6, basta ligar esses dois pontos por uma reta.
    Observação física rápida: a inclinação 6 é a aceleração constante (em \text{m/s}^2), mas isso é só contexto — para o gráfico basta saber que é uma reta crescente.

Passo 3

Entendendo o que significa “área sob a curva” de v(t):
  • Em cinemática, a área sob a curva velocidade vs tempo entre t=a e t=b é exatamente o deslocamento \Delta x=x(b)-x(a).
  • Matematicamente, isso é a integral definida
\Delta x=\int_{a}^{b} v(t)\,dt.
Aqui temos a=0 e b=5, e v(t)=6t+3. Vamos calcular a integral.

Passo 4

Calcular a área usando integração (explicando a regra usada):
  • Regra básica de antiderivadas que vamos usar: a antiderivada de t é \tfrac{1}{2}t^{2} e a de uma constante c é ct.
  • Para v(t)=6t+3 a antiderivada é
\int (6t+3)\,dt = 6\cdot\frac{t^{2}}{2}+3t = 3t^{2}+3t + C,
onde C é a constante de integração.
  • A integral definida de 0 a 5 é
\int_{0}^{5} (6t+3)\,dt = \Big[\,3t^{2}+3t\,\Big]_{0}^{5} = \big(3\cdot5^{2}+3\cdot5\big)-\big(3\cdot0^{2}+3\cdot0\big).
  • Calculando:
3\cdot5^{2}=3\cdot25=75,\qquad 3\cdot5=15,
portanto
\int_{0}^{5} (6t+3)\,dt = 75+15=90.
  • Unidade: velocidade ( \text{m/s}) vezes tempo ( \text{s}) dá metros, então a área é 90\\ \text{m}. Esse é o deslocamento entre 0 e 5 segundos.

Passo 5

Calcular a área usando geometria como verificação (método alternativo fácil de fazer sem integrar):
  • A curva v(t)=6t+3 entre t=0 e t=5 é uma reta; a área sob ela é a área de um trapézio de bases v(0)=3 e v(5)=33 e altura (base do trapézio) 5.
  • Fórmula do trapézio: área =\dfrac{( \text{base}_1+\text{base}_2 )}{2}\times \text{altura}. Aqui:
\text{Área}=\frac{3+33}{2}\cdot5=\frac{36}{2}\cdot5=18\cdot5=90.Á
  • Ou dividir em um retângulo de altura 3 (área 3\cdot5=15) + triângulo com base 5 e altura 33-3=30 (área \tfrac{1}{2}\cdot5\cdot30=75); soma 15+75=90. Confere com a integral.

Passo 6

Achar a função posição x(t) (passo a passo e interpretação da constante):
  • A posição é uma antiderivada da velocidade:
x(t)=\int v(t)\,dt = \int (6t+3)\,dt = 3t^{2}+3t + x_{0},
onde x_{0} é a posição inicial genérica x(0).
  • Se escolhermos a convenção comum x(0)=0 (para um gráfico com origem na posição inicial), então
x(t)=3t^{2}+3t.
  • Observação importante: o deslocamento entre dois instantes independe de x_{0}, porque
\Delta x = x(5)-x(0) = \big(3\cdot5^{2}+3\cdot5+x_{0}\big)-\big(0+0+x_{0}\big)=75+15=90,
coincidindo com o resultado da integral/área.

Passo 7

Interpretação final e unidades:
  • A área sob v(t) entre 0 e 5 é 90\\ \text{m}; fisicamente, isso significa que a partícula se deslocou 90\\ \text{m} no intervalo.
  • A função posição (com posição inicial x(0)=x_{0}) é x(t)=3t^{2}+3t+x_{0}. Tomando x_{0}=0 fica x(t)=3t^{2}+3t.

Resposta

(a) Gráfico: reta v(t)=6t+3 passando por (0,3) e (5,33). Área sob a curva em [0,5]: 90\\ \text{m}.
(b) Função posição geral: x(t)=3t^{2}+3t+x_{0}. Tomando x(0)=0: x(t)=3t^{2}+3t. Deslocamento entre t=0 e t=5: 90\\ \text{m}.

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