Um objeto oscila com movimento harmônico simples ao longo do eixo x. Seu deslocamento em relação à origem varia no tempo de acordo com a expressão:
x=(4,00 m) cos (pi t+pi4)
onde t está em segundos a os ângulos de fase são medidos em radianos.
(d) Determine a velocidade máxima e a aceleração máxima do objeto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Movimento Harmônico Simples (MHS). A gente tem a equação do deslocamento:
x = (4,00, m) cos(pi t + pi4)
Nosso objetivo é encontrar a velocidade máxima e a aceleração máxima desse objeto. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas derivadas do MHS para velocidade e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no Movimento Harmônico Simples, a posição x do objeto é descrita por:
x(t) = A cos(omega t + phi)
onde:
  • A é a amplitude,
  • omega é a frequência angular,
  • phi é a fase.
No nosso caso, comparando com a equação dada:
A = 4,00, m, omega = pi, rad/s, phi = pi4

Passo 3

A velocidade no MHS é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t) = dxdt = -A omega sin(omega t + phi)
A velocidade máxima ocorre quando sin(omega t + phi) = pm 1. Então:
vmáx = A omega = 4,00, m times pi, rad/s = 4pi, m/s á

Passo 4

Já a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição:
a(t) = dvdt = -A omega^2 cos(omega t + phi)
A aceleração máxima ocorre quando cos(omega t + phi) = pm 1. Então:
amáx = A omega^2 = 4,00, m times pi^2, rad^2/s^2 = 4pi^2, m/s^2 á

Resposta

A velocidade máxima do objeto é 4pi, m/s e a aceleração máxima é 4pi^2, m/s^2.

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