Um objeto oscila com movimento harmônico simples ao longo do eixo x. Seu deslocamento em relação a origem varia com o tempo de acordo com a equação
x=4 m cdot cos (pi t+pi4)
onde t está em segundos e os ângulos entre parênteses estão em radianos.
(b) Obtenha as equações para velocidade e aceleração do objeto em função do tempo t.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que um objeto faz movimento harmônico simples (MHS) no eixo x e sua posição é
x(t)=4;m,cos!l(pi,t+tfracpi4r)
A parte (b) pede pra gente achar as equações de velocidade v(t) e aceleração a(t).
Isso envolve derivar a função do deslocamento em relação ao tempo. Logo, vamos usar cálculo (derivadas) e a regra da cadeia.

Passo 2

Teoria rapidinha: se v(t)=dxdt =-Asinl(u(t)r),dudt , então
dudt=pi
Aqui . Primeiro, vamos achar .
Como , a derivada de é e de constante é zero.
Logo:

Passo 3

Agora aplicando isso em v(t) =-4;m,sin!l(pi t+tfracpi4r);times;pi =-4pi;m/s;sin!l(pi t+tfracpi4r) :
Prontinho, achamos a velocidade.

Passo 4

Pra encontrar a aceleração, a gente faz a derivada de ddtl[sin(u(t))r] =cosl(u(t)r),dudt . Lembra:
a(t)=dvdt =ddtl[-4pisin!l(u(t)r)r] =-4pi;cos!l(u(t)r);dudt
Então,
E já vimos que .

Passo 5

Substituindo tudo:
a(t) =-4pi;cos!l(pi t+tfracpi4r);times;pi =-4pi^2;m/s^2;cos!l(pi t+tfracpi4r)

Resposta

v(t) = m/s
a(t) = m/s²

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