1. Utilize o Binômio de Newton e calcule uma aproximação em duas casas decimais para ( 3.01 )^{5}.

Passo 1

O enunciado pede uma aproximação com duas casas decimais de (3{,}01)^{5}.
Informações dadas: o número a elevar é (3{,}01) e o expoente é 5. Vou usar o Binômio de Newton para desenvolver a potência de forma exata e depois arredondar.

Passo 2

O Binômio de Newton diz que, para inteiros n\ge0 e a,b quaisquer,
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k}.
Aqui:
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras escolher k itens entre n;
  • a^{\,n-k} é a potência de a;
  • b^{\,k} é a potência de b.
    Vou aplicar essa fórmula com a=3, b=0{,}01 e n=5.

Passo 3

Aplicando a fórmula:
(3+0{,}01)^{5}=\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}3^{5-k}(0{,}01)^{k}.
Vou calcular termo a termo para somar precisamente.

Passo 4

Coeficientes binomiais e potências de 3 necessárias:
\binom{5}{0}=1,\\ \binom{5}{1}=5,\\ \binom{5}{2}=10,\\ \binom{5}{3}=10,\\ \binom{5}{4}=5,\\ \binom{5}{5}=1,
3^{5}=243,\\\ 3^{4}=81,\\\ 3^{3}=27,\\\ 3^{2}=9,\\\ 3^{1}=3,\\\ 3^{0}=1.

Passo 5

Calculo dos termos individuais ( k=0 a 5):
\begin{aligned} k=0:&\quad 1\cdot 3^{5}\cdot(0{,}01)^{0}=243,\\[4pt] k=1:&\quad 5\cdot 3^{4}\cdot(0{,}01)^{1}=5\cdot 81\cdot 0{,}01=405\cdot 0{,}01=4{,}05,\\[4pt] k=2:&\quad 10\cdot 3^{3}\cdot(0{,}01)^{2}=10\cdot 27\cdot 0{,}0001=270\cdot 0{,}0001=0{,}027,\\[4pt] k=3:&\quad 10\cdot 3^{2}\cdot(0{,}01)^{3}=10\cdot 9\cdot 0{,}000001=90\cdot 0{,}000001=0{,}00009,\\[4pt] k=4:&\quad 5\cdot 3^{1}\cdot(0{,}01)^{4}=5\cdot 3\cdot 0{,}00000001=15\cdot 0{,}00000001=0{,}00000015,\\[4pt] k=5:&\quad 1\cdot 3^{0}\cdot(0{,}01)^{5}=1\cdot 1\cdot 0{,}0000000001=0{,}0000000001. \end{aligned}]

Passo 6

Somando os termos em ordem, controlando as casas decimais:
\begin{aligned} 243 + 4{,}05 &= 247{,}05,\\[4pt] 247{,}05 + 0{,}027 &= 247{,}077,\\[4pt] 247{,}077 + 0{,}00009 &= 247{,}07709,\\[4pt] 247{,}07709 + 0{,}00000015 &= 247{,}07709015,\\[4pt] 247{,}07709015 + 0{,}0000000001 &\approx 247{,}0770901501. \end{aligned}]

Passo 7

Para obter duas casas decimais, olhamos o terceiro decimal da soma: na aproximação exata temos 247{,}077\ldots, o terceiro decimal é 7, então arredondamos a segunda casa decimal para cima. Os termos a partir de k=3 somam aproximadamente 0{,}0000901501, muito pequenos e não afetando o arredondamento às duas casas decimais.

Resposta

247{,}08

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