Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
( ) A função f(x)=\frac{\ln x}{x} é uma solução da equação diferencial
x^{2} y^{\prime}+x y=1 .

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Está dada a função \displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}.
  • Está dada a equação diferencial
x^{2}y'+x y=1.
  • A pergunta é: a função \displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x} é uma solução dessa equação diferencial?
  • Informação importante sobre domínio: o logaritmo natural \ln x está definido apenas para x>0. Logo, só faz sentido verificar a equação para x>0.

Passo 2

Estratégia para verificar se uma função é solução: calcular a derivada da função proposta e substituir na equação diferencial. Se a igualdade for satisfeita (em seu domínio), então a função é solução.
Vou calcular a derivada de \displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}. É mais simples escrever \displaystyle f(x)=\ln x\cdot x^{-1} e usar a regra do produto.
Regra do produto (lembrete curto): se u(x) e v(x) são funções, então
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui u(x)=\ln x e v(x)=x^{-1}.

Passo 3

Calcular u'(x) e v'(x):
u'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}, \qquad v'(x) = (x^{-1})' = -1\cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}}.
Aplicando a regra do produto:
f'(x) = u'v + uv' = \frac{1}{x}\cdot x^{-1} + \ln x\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right).
Simplificando os termos:
f'(x) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{\ln x}{x^{2}} = \frac{1-\ln x}{x^{2}}.

Passo 4

Agora computar o termo x^{2}y' usando y=f:
x^{2}f'(x) = x^{2}\cdot\frac{1-\ln x}{x^{2}} = 1-\ln x.
Esse passo cancela o x^{2} do numerador com o do denominador — atenção: isso é válido para x\neq0; como já notamos, o domínio é x>0, então tudo certo.

Passo 5

Calcular o termo x y com y=f:
x f(x) = x\cdot\frac{\ln x}{x} = \ln x.

Passo 6

Somar os dois termos da equação diferencial:
x^{2}f'(x)+x f(x) = (1-\ln x)+\ln x = 1.
A soma dá exatamente 1 para todo x>0. Portanto, a igualdade da equação diferencial é satisfeita por \displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x} em seu domínio.

Passo 7

Complemento didático (como checar de outra forma e ver que a função é a solução particular correspondente):
A equação pode ser escrita em forma padrão de primeira ordem:
y' + \frac{1}{x}y = \frac{1}{x^{2}}.
Fator integrante: \displaystyle \mu(x)=e^{\int \frac{1}{x}\,dx}=e^{\ln x}=x. Multiplicando ambos os lados por \mu(x) obtém-se
(xy)'=\frac{1}{x}.
Integrando,
x y = \ln x + C,
ou seja
y=\frac{\ln x}{x}+\frac{C}{x}.
Tomando C=0 recuperamos \displaystyle y=\frac{\ln x}{x}. Isso confirma que a função dada é a solução particular obtida pela escolha C=0.

Resposta

Verdadeira (para x>0).

Exercícios relacionados