Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
( ) A função
é uma solução da equação diferencial
( ) A função
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Está dada a função
. - Está dada a equação diferencial
- A pergunta é: a função
é uma solução dessa equação diferencial? - Informação importante sobre domínio: o logaritmo natural
está definido apenas para . Logo, só faz sentido verificar a equação para .
Passo 2
Estratégia para verificar se uma função é solução: calcular a derivada da função proposta e substituir na equação diferencial. Se a igualdade for satisfeita (em seu domínio), então a função é solução.
Vou calcular a derivada de
. É mais simples escrever
e usar a regra do produto.
Regra do produto (lembrete curto): se
e
são funções, então
Aqui
e
.
Passo 3
Calcular
e
:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando os termos:
Passo 4
Agora computar o termo
usando
:
Esse passo cancela o
do numerador com o do denominador — atenção: isso é válido para
; como já notamos, o domínio é
, então tudo certo.
Passo 5
Calcular o termo
com
:
Passo 6
Somar os dois termos da equação diferencial:
A soma dá exatamente
para todo
. Portanto, a igualdade da equação diferencial é satisfeita por
em seu domínio.
Passo 7
Complemento didático (como checar de outra forma e ver que a função é a solução particular correspondente):
A equação pode ser escrita em forma padrão de primeira ordem:
A equação pode ser escrita em forma padrão de primeira ordem:
Fator integrante:
. Multiplicando ambos os lados por
obtém-se
Integrando,
ou seja
Tomando
recuperamos
. Isso confirma que a função dada é a solução particular obtida pela escolha
.
Resposta
Verdadeira (para
).