O enunciado pede para calcular\nabla\!\left(\frac{1}{\left|\vec r-\vec r^{\prime}\right|}\right) \quad\text{e}\quad \nabla^{\prime}\!\left(\frac{1}{\left|\vec r-\vec r^{\prime}\right|}\right).
Foi dado que\nabla=\sum_{i}\boldsymbol{e}_{i}\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \qquad \nabla^{\prime}=\sum_{i}\boldsymbol{e}_{i}\frac{\partial}{\partial x_{i}^{\prime}}.
Vou usar as coordenadas cartesianas x_i para \boldsymbol r e x_i' para \boldsymbol r', e a normaR \equiv \left|\boldsymbol r-\boldsymbol r'\right| =\sqrt{\sum_{i}\left(x_{i}-x_{i}^{\prime}\right)^{2}}.
Em resumo: calcular as derivadas parciais em relação a x_i e x_i' da função \varphi(\boldsymbol r,\boldsymbol r')=1/R e montar os vetores gradiente com as bases \boldsymbol e_i.
Passo 2
Expressar a função em termos de R e calcular \partial R/\partial x_j (aplicando regra da cadeia).
Para achar \partial R/\partial x_j aplicamos a definição de derivada de uma raiz quadrada e a regra da cadeia:R=\bigg(\sum_{i}(x_i-x_i')^2\bigg)^{1/2}então\frac{\partial R}{\partial x_j} =\frac{1}{2}\bigg(\sum_{i}(x_i-x_i')^2\bigg)^{-1/2}\cdot 2(x_j-x_j') =\frac{x_j-x_j'}{R}.
Interpretação: ao variar x_j a distância R muda na direção do componente x_j-x_j', normalizada por R.
Passo 3
Derivar \varphi=1/R em relação a x_j e montar \nabla\varphi.
Aplicando regra da cadeia:\frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{1}{R}\right) =-\,\frac{1}{R^{2}}\frac{\partial R}{\partial x_j} =-\,\frac{1}{R^{2}}\cdot\frac{x_j-x_j'}{R} =-\,\frac{x_j-x_j'}{R^{3}}.
Reconhecendo a soma como o vetor \boldsymbol r-\boldsymbol r', obtemos\nabla\!\left(\frac{1}{\left|\boldsymbol r-\boldsymbol r'\right|}\right) =-\,\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol r'}{\left|\boldsymbol r-\boldsymbol r'\right|^{3}}.
Passo 4
Calcular \partial R/\partial x_j' e \nabla'\varphi (derivada em relação às coordenadas primadas).
Análogo ao passo anterior, agora derivando R em relação a x_j':\frac{\partial R}{\partial x_j'}=\frac{1}{2}\bigg(\sum_{i}(x_i-x_i')^2\bigg)^{-1/2}\cdot 2(x_j'-x_j) =\frac{x_j'-x_j}{R}=-\frac{x_j-x_j'}{R}.
Aplicando a regra da cadeia em \varphi=1/R com derivada em relação a x_j':\frac{\partial}{\partial x_j'}\left(\frac{1}{R}\right) =-\,\frac{1}{R^{2}}\frac{\partial R}{\partial x_j'} =-\,\frac{1}{R^{2}}\cdot\frac{x_j'-x_j}{R} =-\,\frac{x_j'-x_j}{R^{3}} =\frac{x_j-x_j'}{R^{3}}.