QUESTÃO 5 - valor: 2,0 pontos

  1. Calcule
\nabla\left(\frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|}\right) \text { e } \nabla^{\prime}\left(\frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|}\right) .
Use:
\nabla=\sum_{i} \boldsymbol{e}_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}, \quad \nabla^{\prime}=\sum_{i} \boldsymbol{e}_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}^{\prime}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • O enunciado pede para calcular \nabla\!\left(\frac{1}{\left|\vec r-\vec r^{\prime}\right|}\right) \quad\text{e}\quad \nabla^{\prime}\!\left(\frac{1}{\left|\vec r-\vec r^{\prime}\right|}\right).
  • Foi dado que \nabla=\sum_{i}\boldsymbol{e}_{i}\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \qquad \nabla^{\prime}=\sum_{i}\boldsymbol{e}_{i}\frac{\partial}{\partial x_{i}^{\prime}}.
  • Vou usar as coordenadas cartesianas x_i para \boldsymbol r e x_i' para \boldsymbol r', e a norma R \equiv \left|\boldsymbol r-\boldsymbol r'\right| =\sqrt{\sum_{i}\left(x_{i}-x_{i}^{\prime}\right)^{2}}.
  • Em resumo: calcular as derivadas parciais em relação a x_i e x_i' da função \varphi(\boldsymbol r,\boldsymbol r')=1/R e montar os vetores gradiente com as bases \boldsymbol e_i.

Passo 2

Expressar a função em termos de R e calcular \partial R/\partial x_j (aplicando regra da cadeia).
  • Escrevemos \varphi(\boldsymbol r,\boldsymbol r')=\frac{1}{R},\qquad R=\sqrt{\sum_{i}\left(x_{i}-x_{i}^{\prime}\right)^{2}}.
  • Para achar \partial R/\partial x_j aplicamos a definição de derivada de uma raiz quadrada e a regra da cadeia: R=\bigg(\sum_{i}(x_i-x_i')^2\bigg)^{1/2}então \frac{\partial R}{\partial x_j} =\frac{1}{2}\bigg(\sum_{i}(x_i-x_i')^2\bigg)^{-1/2}\cdot 2(x_j-x_j') =\frac{x_j-x_j'}{R}.
  • Interpretação: ao variar x_j a distância R muda na direção do componente x_j-x_j', normalizada por R.

Passo 3

Derivar \varphi=1/R em relação a x_j e montar \nabla\varphi.
  • Aplicando regra da cadeia: \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{1}{R}\right) =-\,\frac{1}{R^{2}}\frac{\partial R}{\partial x_j} =-\,\frac{1}{R^{2}}\cdot\frac{x_j-x_j'}{R} =-\,\frac{x_j-x_j'}{R^{3}}.
  • Agora montamos o gradiente usando \nabla=\sum_{j}\boldsymbol e_j\partial/\partial x_j: \nabla\!\left(\frac{1}{R}\right) =\sum_{j}\boldsymbol e_j\left(-\,\frac{x_j-x_j'}{R^{3}}\right) =-\,\frac{1}{R^{3}}\sum_{j}(x_j-x_j')\boldsymbol e_j.
  • Reconhecendo a soma como o vetor \boldsymbol r-\boldsymbol r', obtemos \nabla\!\left(\frac{1}{\left|\boldsymbol r-\boldsymbol r'\right|}\right) =-\,\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol r'}{\left|\boldsymbol r-\boldsymbol r'\right|^{3}}.

Passo 4

Calcular \partial R/\partial x_j' e \nabla'\varphi (derivada em relação às coordenadas primadas).
  • Análogo ao passo anterior, agora derivando R em relação a x_j': \frac{\partial R}{\partial x_j'}=\frac{1}{2}\bigg(\sum_{i}(x_i-x_i')^2\bigg)^{-1/2}\cdot 2(x_j'-x_j) =\frac{x_j'-x_j}{R}=-\frac{x_j-x_j'}{R}.
  • Aplicando a regra da cadeia em \varphi=1/R com derivada em relação a x_j': \frac{\partial}{\partial x_j'}\left(\frac{1}{R}\right) =-\,\frac{1}{R^{2}}\frac{\partial R}{\partial x_j'} =-\,\frac{1}{R^{2}}\cdot\frac{x_j'-x_j}{R} =-\,\frac{x_j'-x_j}{R^{3}} =\frac{x_j-x_j'}{R^{3}}.
  • Montando o gradiente primado: \nabla'\!\left(\frac{1}{R}\right) =\sum_{j}\boldsymbol e_j\frac{x_j-x_j'}{R^{3}} =\frac{1}{R^{3}}\sum_{j}(x_j-x_j')\boldsymbol e_j =\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol r'}{R^{3}}.

Passo 5

Resumo, interpretação física e checagem rápida.
  • Resultado compacto: \nabla\!\left(\frac{1}{\left|\boldsymbol r-\boldsymbol r'\right|}\right) =-\,\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol r'}{\left|\boldsymbol r-\boldsymbol r'\right|^{3}}, \qquad \nabla'\!\left(\frac{1}{\left|\boldsymbol r-\boldsymbol r'\right|}\right) =\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol r'}{\left|\boldsymbol r-\boldsymbol r'\right|^{3}}.
  • Observação simples: \nabla' (1/R) = -\nabla (1/R). Faz sentido físico: derivar em r ou em r' tem sinais opostos porque R depende de r-r'.
  • Dica para prova: faça via componentes como fiz aqui (derivando R e aplicando regra da cadeia) — é direto e evita truques memorizados.

Resposta

\nabla\!\left(\dfrac{1}{\left|\boldsymbol r-\boldsymbol r'\right|}\right)=-\,\dfrac{\boldsymbol r-\boldsymbol r'}{\left|\boldsymbol r-\boldsymbol r'\right|^{3}}
\nabla'\!\left(\dfrac{1}{\left|\boldsymbol r-\boldsymbol r'\right|}\right)=\dfrac{\boldsymbol r-\boldsymbol r'}{\left|\boldsymbol r-\boldsymbol r'\right|^{3}}

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