(a) Um objeto, com velocidade zero, pode estar acelerado? (b) Um objeto pode ter velocidade constante e ter, ao mesmo tempo, velocidade escalar variável? Para cada caso, se a resposta for sim, dè um exemplo; se for não, explique por quê.
Passo 1
O enunciado faz duas perguntas separadas:
(a) Um objeto, com velocidade zero, pode estar acelerado?
(b) Um objeto pode ter velocidade constante e ter, ao mesmo tempo, velocidade escalar variável?
Informações dadas / o que é pedido:
Para (a) é pedido dizer se é possível que a velocidade instantânea seja zero (\vec{v}(t_0)=\vec{0}) enquanto a aceleração naquele instante \vec{a}(t_0) é diferente de zero, e em caso afirmativo dar um exemplo; se for não, explicar por quê.
Para (b) é pedido dizer se é possível que a velocidade (entendida como vetor \vec{v}(t)) seja constante no tempo enquanto a velocidade escalar (o módulo |\vec{v}(t)|) varia no tempo; em caso afirmativo dar exemplo, caso contrário explicar por quê.
Passo 2
Definições e notação (fundamentais para entender as respostas).
Posição: \vec{r}(t) é a posição do objeto em função do tempo.
Velocidade vetorial: \displaystyle \vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}. Isso significa que a velocidade é a derivada da posição; é um vetor que tem direção, sentido e módulo.
Aceleração: \displaystyle \vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}. A aceleração é a taxa de variação da velocidade.
Velocidade escalar (speed): \displaystyle v_{\text{esc}}(t)=\bigl|\vec{v}(t)\bigr|. É o módulo da velocidade vetorial, um número não-negativo.
Observação importante sobre “instantâneo” vs “intervalo”: dizer que “a velocidade é zero” normalmente significa que existe um instante t_0 tal que \vec{v}(t_0)=\vec{0}. Dizer que “a velocidade é constante” normalmente significa que \vec{v}(t)=\vec{v}_0 para todo t em algum intervalo de tempo.
Passo 3
Responder (a) com explicação matemática simples.
Podemos ter \vec{v}(t_0)=\vec{0} e ao mesmo tempo \vec{a}(t_0)\neq\vec{0}. Matemática simples: escolha um movimento unidimensional com velocidade dada por
\displaystyle v(t)=a_0\,t,
onde a_0 é uma constante não nula. Então
\displaystyle v(0)=a_0\cdot 0=0,
mas a aceleração é
\displaystyle a(t)=\frac{dv}{dt}=a_0\neq 0.
Logo, no instante t=0 a velocidade é zero e a aceleração é diferente de zero.
Exemplo físico muito usado (muito útil para a prova): uma bola arremessada verticalmente para cima. No ponto mais alto da trajetória a velocidade instantânea é zero, \vec{v}=\vec{0}, porque a bola para momentaneamente e inverte o sentido; porém a aceleração é \vec{a}=(0,-g) (aproximadamente -9{,}8\\ \text{m/s}^2 na direção vertical), não nula, apontando para baixo. Portanto a bola está acelerada mesmo com velocidade zero naquele instante.
Outro exemplo (oscilador harmônico): x(t)=A\cos(\omega t). Então
Em t=0 tem-se v(0)=0 mas a(0)=-A\omega^2\neq 0 (se A\neq0). Mesma ideia.
Passo 4
Intuição e interpretação (como pensar rápido na prova).
Aceleração é a derivada (a “inclinação”) da velocidade. Ter o valor da função igual a zero num instante não impede que a inclinação naquele ponto seja diferente de zero. Visualize o gráfico de v(t): a curva pode cruzar o eixo horizontal com inclinação não nula — aí v=0 mas \dot v\neq0.
Em questões de prova, se virem “velocidade zero”, sempre checar se pedem aceleração instantânea; muitas vezes o ponto de inversão (topo de um lançamento) é exatamente o exemplo pedido.
Passo 5
Responder (b) com explicação rigorosa e exemplo de confusão comum.
Interpretação natural de “velocidade constante”: \vec{v}(t)=\vec{v}_0 para todo t em algum intervalo. Se isso vale, então o módulo é
que é uma constante numérica. Portanto, se a velocidade vetorial é constante no tempo, o módulo da velocidade (velocidade escalar) também é constante. Conclusão: não é possível ter velocidade vetorial constante e, ao mesmo tempo, velocidade escalar variável.
Prova alternativa muito curta: se \vec{v}(t)=\vec{v}_0 então \dfrac{d\vec{v}}{dt}=\vec{0}. Como \dfrac{d}{dt}\bigl|\vec{v}\bigr|=0 porque \bigl|\vec{v}(t)\bigr|=\bigl|\vec{v}_0\bigr| não depende de t, a velocidade escalar é constante.
Importante contraste (útil para prova): existe o caso oposto que causa confusão — movimento com velocidade escalar constante mas velocidade vetorial variável. Exemplo clássico: movimento circular uniforme. A velocidade vetorial muda de direção continuamente (logo \vec{v} não é constante), mas o módulo |\vec{v}| é constante. Esse exemplo serve para lembrar que “velocidade constante” e “velocidade escalar constante” são afirmações diferentes; a pergunta, contudo, pedia velocidade vetorial constante e velocidade escalar variável, e isso é impossível.
Passo 6
Dicas práticas rápidas para a prova
Se pedirem “velocidade zero”, pergunte-se: é um instante ou durante um intervalo? Se for instante, é comum que a aceleração seja não nula (pense no lançamento vertical). Se for intervalo inteiro com \vec{v}(t)=\vec{0} para todos os t ali, então a aceleração também é \vec{0}.
Se virem “velocidade constante” interpretem como vetor constante; então o módulo também é constante. Se quiserem apenas módulo constante, o enunciado costuma escrever “velocidade escalar constante” ou “speed constante”.
Resposta
(a) Sim. Ex.: no ponto mais alto de um lançamento vertical tem-se \vec{v}=\vec{0} e \vec{a}=(0,-g)\neq\vec{0}.
(b) Não. Se \vec{v}(t)=\vec{v}_0 para todo t então |\vec{v}(t)|=|\vec{v}_0| é constante, logo a velocidade escalar não pode variar.