Quando a velocidade é constante, a velocidade média, num intervalo qualquer de tempo, pode ser diferente da velocidade instantänea em um instante qualquer? Em caso afirmativo, exemplifique; se negativo, explique por quê.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Dado: a velocidade é constante no movimento (isto é, não varia com o tempo).
  • Pergunta: a velocidade média, em um intervalo qualquer de tempo, pode ser diferente da velocidade instantânea em um instante qualquer?
    Ou seja: existe algum intervalo de tempo e algum instante tais que a velocidade média nesse intervalo seja diferente da velocidade instantânea naquele instante?

Passo 2

Definição e fórmula da velocidade média (explicação didática).
  • A velocidade média em um intervalo de tempo [t_1,t_2] é definida como a razão entre o deslocamento e o tempo decorrido.
  • Em fórmulas:
\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1},
onde:
  • \bar v é a velocidade média no intervalo [t_1,t_2],
  • x(t) é a posição em função do tempo,
  • \Delta x=x(t_2)-x(t_1) é o deslocamento no intervalo,
  • \Delta t=t_2-t_1 é a duração do intervalo.
  • Interpretação simples: a velocidade média mede “quanto, em média, a posição mudou por segundo” no intervalo considerado.

Passo 3

Definição e fórmula da velocidade instantânea (explicação didática).
  • A velocidade instantânea em um tempo t é a derivada da posição em relação ao tempo naquele instante:
v(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}(t).
  • Interpretação: é a taxa de variação da posição exatamente naquele instante — o que o velocímetro marcaria naquele preciso momento.

Passo 4

O que significa “velocidade constante” e suas consequências.
  • Dizer que a velocidade é constante significa que existe um número (vetor) v_0 tal que, para todo tempo t,
v(t)=v_0.
  • Assim a taxa de variação da posição é sempre a mesma, e a posição evolui linearmente com o tempo:
x(t)=x(t_0)+v_0\,(t-t_0)
para qualquer referência t_0. Aqui x(t_0) é a posição no instante t_0.

Passo 5

Cálculo da velocidade média quando a velocidade é constante (prova matemática simples).
  • Tome um intervalo arbitrário [t_1,t_2]. Usando a fórmula da posição linear:
x(t_2)-x(t_1)=v_0\,(t_2-t_1).
  • Então a velocidade média nesse intervalo é
\bar v=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}=\frac{v_0\,(t_2-t_1)}{t_2-t_1}=v_0.
  • Conclusão: para qualquer intervalo [t_1,t_2], \bar v=v_0.

Passo 6

Cálculo da velocidade instantânea quando a velocidade é constante.
  • Pela definição, se v(t)=v_0 para todo t, então para qualquer instante t
v(t)=v_0.
  • Ou seja, a velocidade instantânea em qualquer instante é v_0.

Passo 7

Juntando os resultados: igualdade entre velocidade média e instantânea.
  • Dos passos anteriores temos que, para movimento com velocidade constante v_0,
    • a velocidade média em qualquer intervalo é \bar v=v_0,
    • a velocidade instantânea em qualquer instante é v(t)=v_0.
  • Portanto não existe intervalo nem instante em que a velocidade média seja diferente da velocidade instantânea: elas coincidem sempre.

Passo 8

Exemplo numérico ilustrativo (para ficar mais concreto e te dar confiança).
  • Suponha v_0=5 m/s. Pegue o intervalo de t_1=2 s até t_2=7 s.
  • Deslocamento: x(7)-x(2)=5\cdot(7-2)=25 m.
  • Velocidade média: \bar v=\dfrac{25}{5}=5 m/s.
  • Velocidade instantânea em qualquer instante (por exemplo t=3 s): v(3)=5 m/s.
  • Confirmado: \bar v=v(3)=5.

Passo 9

Observação sobre possíveis confusões (para não tropeçar na prova).
  • Atenção à diferença entre “velocidade” (vetor) e “rapidez/velocidade escalar”: aqui consideramos velocidade constante (mesma direção e sentido). Se a direção mudar, mesmo com rapidez constante, a velocidade vetorial não é constante e a equivalência acima não vale.
  • Também: se a velocidade não for constante, em geral a velocidade média difere da instantânea; o caso de igualdade para todo intervalo só ocorre quando a velocidade é realmente constante.

Resposta

Não — se a velocidade é constante, digamos v(t)=v_0, então para qualquer intervalo [t_1,t_2] tem-se \bar v=\dfrac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}=v_0 e para qualquer instante t tem-se v(t)=v_0; logo a velocidade média e a velocidade instantânea coincidem (são iguais) em todos os casos.

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