Quando a velocidade é constante, a velocidade média, num intervalo qualquer de tempo, pode ser diferente da velocidade instantänea em um instante qualquer? Em caso afirmativo, exemplifique; se negativo, explique por quê.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Dado: a velocidade é constante no movimento (isto é, não varia com o tempo).
- Pergunta: a velocidade média, em um intervalo qualquer de tempo, pode ser diferente da velocidade instantânea em um instante qualquer?
Ou seja: existe algum intervalo de tempo e algum instante tais que a velocidade média nesse intervalo seja diferente da velocidade instantânea naquele instante?
Passo 2
Definição e fórmula da velocidade média (explicação didática).
- A velocidade média em um intervalo de tempo
é definida como a razão entre o deslocamento e o tempo decorrido. - Em fórmulas:
onde:
-
é a velocidade média no intervalo , -
é a posição em função do tempo, -
é o deslocamento no intervalo, -
é a duração do intervalo. - Interpretação simples: a velocidade média mede “quanto, em média, a posição mudou por segundo” no intervalo considerado.
Passo 3
Definição e fórmula da velocidade instantânea (explicação didática).
- A velocidade instantânea em um tempo
é a derivada da posição em relação ao tempo naquele instante:
- Interpretação: é a taxa de variação da posição exatamente naquele instante — o que o velocímetro marcaria naquele preciso momento.
Passo 4
O que significa “velocidade constante” e suas consequências.
- Dizer que a velocidade é constante significa que existe um número (vetor)
tal que, para todo tempo ,
- Assim a taxa de variação da posição é sempre a mesma, e a posição evolui linearmente com o tempo:
para qualquer referência
. Aqui
é a posição no instante
.
Passo 5
Cálculo da velocidade média quando a velocidade é constante (prova matemática simples).
- Tome um intervalo arbitrário
. Usando a fórmula da posição linear:
- Então a velocidade média nesse intervalo é
- Conclusão: para qualquer intervalo
, .
Passo 6
Cálculo da velocidade instantânea quando a velocidade é constante.
- Pela definição, se
para todo , então para qualquer instante
- Ou seja, a velocidade instantânea em qualquer instante é
.
Passo 7
Juntando os resultados: igualdade entre velocidade média e instantânea.
- Dos passos anteriores temos que, para movimento com velocidade constante
, - a velocidade média em qualquer intervalo é
, - a velocidade instantânea em qualquer instante é
.
- a velocidade média em qualquer intervalo é
- Portanto não existe intervalo nem instante em que a velocidade média seja diferente da velocidade instantânea: elas coincidem sempre.
Passo 8
Exemplo numérico ilustrativo (para ficar mais concreto e te dar confiança).
- Suponha
m/s. Pegue o intervalo de s até s. - Deslocamento:
m. - Velocidade média:
m/s. - Velocidade instantânea em qualquer instante (por exemplo
s): m/s. - Confirmado:
.
Passo 9
Observação sobre possíveis confusões (para não tropeçar na prova).
- Atenção à diferença entre “velocidade” (vetor) e “rapidez/velocidade escalar”: aqui consideramos velocidade constante (mesma direção e sentido). Se a direção mudar, mesmo com rapidez constante, a velocidade vetorial não é constante e a equivalência acima não vale.
- Também: se a velocidade não for constante, em geral a velocidade média difere da instantânea; o caso de igualdade para todo intervalo só ocorre quando a velocidade é realmente constante.
Resposta
Não — se a velocidade é constante, digamos
, então para qualquer intervalo
tem-se
e para qualquer instante
tem-se
; logo a velocidade média e a velocidade instantânea coincidem (são iguais) em todos os casos.