Num planeta, onde o valor de g corresponde à metade do valor a Terra, um objeto é solto do repouso e cai ao solo. Qual o tempo necessário para que ele alcance o solo, em relação ao tempo que levaria par uma queda da mesma altura, na Terra?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A aceleração da gravidade no planeta vale metade da gravidade da Terra. Vou chamar de
e . - Um objeto é solto do repouso (velocidade inicial zero) de uma altura
qualquer e cai até o solo.
O que o enunciado pede: comparar o tempo de queda no planeta com o tempo de queda na Terra, ou seja, achar a relação entre o tempo no planeta e o tempo na Terra para a mesma altura.
Passo 2
Fórmula básica do movimento com aceleração constante (queda livre): a posição
depois de um tempo
, para aceleração vertical
, velocidade inicial
e deslocamento inicial zero, é
Explicando cada símbolo:
-
é o deslocamento vertical (no nosso caso , a altura que o corpo percorre até o solo); -
é a velocidade inicial (aqui , pois o objeto foi solto do repouso); -
é a aceleração (aqui será a aceleração da gravidade: ou ); -
é o tempo de queda, que queremos achar.
Passo 3
Como o objeto é solto do repouso,
. Substituindo na fórmula temos a equação básica da queda livre:
Agora resolvemos essa equação para
. Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
e em seguida extraindo raiz quadrada:
Observação importante: a equação quadrática fornece duas raízes
, mas como tempo é positivo escolhemos o sinal positivo.
Passo 4
Aplicando a fórmula para a queda na Terra (onde a aceleração é
):
Aplicando a fórmula para a queda no planeta (onde a aceleração é
):
Passo 5
Simplificamos
:
Escrevendo
também em termos de
:
Agora a razão entre os tempos:
Passo 6
Interpretação final: o tempo de queda no planeta é
vezes o tempo de queda na Terra para a mesma altura. Numericamente,
ou seja, cerca de
mais demorado. Boa notícia: na prova, basta lembrar da fórmula
, substituir
e simplificar como fizemos.