Num planeta, onde o valor de g corresponde à metade do valor a Terra, um objeto é solto do repouso e cai ao solo. Qual o tempo necessário para que ele alcance o solo, em relação ao tempo que levaria par uma queda da mesma altura, na Terra?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A aceleração da gravidade no planeta vale metade da gravidade da Terra. Vou chamar de \,g_{\rm Terra}=g e \,g_{\rm planeta}=\dfrac{g}{2}.
  • Um objeto é solto do repouso (velocidade inicial zero) de uma altura h qualquer e cai até o solo.
    O que o enunciado pede: comparar o tempo de queda no planeta com o tempo de queda na Terra, ou seja, achar a relação entre o tempo no planeta e o tempo na Terra para a mesma altura h.

Passo 2

Fórmula básica do movimento com aceleração constante (queda livre): a posição s depois de um tempo t, para aceleração vertical \,a, velocidade inicial \,v_0 e deslocamento inicial zero, é
s = v_0\,t + \tfrac{1}{2}a\,t^2.
Explicando cada símbolo:
  • s é o deslocamento vertical (no nosso caso s=h, a altura que o corpo percorre até o solo);
  • v_0 é a velocidade inicial (aqui v_0=0, pois o objeto foi solto do repouso);
  • a é a aceleração (aqui será a aceleração da gravidade: g ou g/2);
  • t é o tempo de queda, que queremos achar.

Passo 3

Como o objeto é solto do repouso, v_0=0. Substituindo na fórmula temos a equação básica da queda livre:
h = \tfrac{1}{2} a\,t^2.
Agora resolvemos essa equação para t. Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por a e em seguida extraindo raiz quadrada:
t^2 = \frac{2h}{a}\quad\Rightarrow\quad t=\sqrt{\frac{2h}{a}}.
Observação importante: a equação quadrática fornece duas raízes \pm, mas como tempo é positivo escolhemos o sinal positivo.

Passo 4

Aplicando a fórmula para a queda na Terra (onde a aceleração é a=g):
t_{\rm Terra} = \sqrt{\frac{2h}{g}}.
Aplicando a fórmula para a queda no planeta (onde a aceleração é a=\dfrac{g}{2}):
t_{\rm planeta} = \sqrt{\frac{2h}{g/2}}.

Passo 5

Simplificamos t_{\rm planeta}:
t_{\rm planeta} = \sqrt{\frac{2h}{g/2}} = \sqrt{\frac{2h}{1}\cdot\frac{2}{g}} = \sqrt{\frac{4h}{g}} = 2\sqrt{\frac{h}{g}}.
Escrevendo t_{\rm Terra} também em termos de \sqrt{h/g}:
t_{\rm Terra} = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{2}\,\sqrt{\frac{h}{g}}.
Agora a razão entre os tempos:
\frac{t_{\rm planeta}}{t_{\rm Terra}} = \frac{2\sqrt{\dfrac{h}{g}}}{\sqrt{2}\,\sqrt{\dfrac{h}{g}}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.

Passo 6

Interpretação final: o tempo de queda no planeta é \sqrt{2} vezes o tempo de queda na Terra para a mesma altura. Numericamente,
\sqrt{2}\approx 1{,}414,
ou seja, cerca de 41{,}4\% mais demorado. Boa notícia: na prova, basta lembrar da fórmula t=\sqrt{2h/a}, substituir a=g/2 e simplificar como fizemos.

Resposta

\sqrt{2} vezes o tempo que levaria na Terra.

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