(OBM 2005) Num tabuleiro quadrado 5 times 5, serão colocados três botões idênticos, cada um no centro de uma casa, determinando um triângulo. De quantas maneiras podemos colocar os botões formando um triângulo retângulo com catetos paralelos às bordas do tabuleiro?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um tabuleiro 5×5 com pontos no centro de cada casa, e vai colocar 3 botões nessas casas. A condição é que esses 3 botões formem um triângulo retângulo cujos catetos fiquem paralelos às bordas (ou seja, um cateto horizontal e outro vertical).
Conteúdo: geometria analítica em grade (lattice points) e contagem combinatória básica.
O que vamos usar:
  • Coordenadas inteiras para os 25 pontos do tabuleiro.
  • A ideia de que, num triângulo retângulo com catetos alinhados aos eixos, o vértice do ângulo reto tem um ponto em comum de abscissa (x) e ordenada (y) com os outros dois vértices.

Passo 2

Primeiro, marcamos qualquer ponto 5 times 5 = 25 como sendo o vértice do ângulo reto. Como o tabuleiro é 5×5, temos 5 opções para (coluna) e 5 para (linha), totalizando
escolhas para .

Passo 3

Aí, para formar o cateto vertical, escolhemos um segundo ponto que tenha a mesma abscissa 4 times 4 = 16 mas uma ordenada diferente de 25 times 16 = 400 . Como na coluna há 5 linhas e já usei a linha , restam 4 opções para o segundo ponto.
De modo análogo, para o cateto horizontal, escolhemos um terceiro ponto que tenha a mesma ordenada mas abscissa diferente de . Novamente são 4 opções.
Portanto, dado , o número de jeitos de montar cateto vertical e horizontal é
Multiplicando pelas 25 posições possíveis de , obtemos
Não há nenhum overcounting porque cada triângulo retângulo com catetos paralelos aos eixos é contado exatamente uma vez quando a gente escolhe o seu vértice do ângulo reto.

Resposta

400 maneiras.

Exercícios relacionados