Obs.: Escolha apenas 5 dos 6 itens desta prova para resolver e indique o item descartado, marcando-o com um X nesta folha. Todas as suas respostas devem ser adequadamente justificadas. Cada item vale 2 pontos.
Considere a equação diferencial autônoma y^prime=y^3-4 y. Sem resolver a equação, esboce em um plano cartesiano os gráficos que descrevam todas as possíveis soluções (todos os tipos de curvas integrais).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial autônoma $ y’ = y^3 - 4y $. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais autônomas e análise de estabilidade de pontos de equilíbrio. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos de equilíbrio e analisar como as soluções se comportam em torno deles.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio. São os valores de $ y $ onde $ y’ = 0 $.
y
Fatorando:
y' = 0
Então, os pontos de equilíbrio são $ y = -2 $, $ y = 0 $ e $ y = 2 $.

Passo 3

Agora, vamos analisar a estabilidade de cada ponto de equilíbrio. Para isso, olhamos o sinal de $ y’ $ em torno de cada ponto.
  1. Para $ y < -2 $:
    • Escolha, por exemplo, $ y = -3 $:
    y'
    Então, $ y’ < 0 $, a solução está decrescendo.
  2. Entre $ y = -2 $ e $ y = 0 $:
    • Escolha $ y = -1 $:
    y < -2
    Então, $ y’ > 0 $, a solução está crescendo.
  3. Entre $ y = 0 $ e $ y = 2 $:
    • Escolha $ y = 1 $:
    y = -3
    Então, $ y’ < 0 $, a solução está decrescendo.
  4. Para $ y > 2 $:
    • Escolha $ y = 3 $:
    (-3)^3 - 4(-3) = -27 + 12 = -15 < 0
    Então, $ y’ > 0 $, a solução está crescendo.

Passo 4

Com base nisso, vamos construir um diagrama de fase:
  • Em $ y = -2 $:
    • À esquerda, $ y’ < 0 $ e à direita, $ y’ > 0 $. Isso indica que $ y = -2 $ é um ponto de equilíbrio instável (fonte).
  • Em $ y = 0 $:
    • À esquerda, $ y’ > 0 $ e à direita, $ y’ < 0 $. Isso indica que $ y = 0 $ é um ponto de equilíbrio estável (sumidouro).
  • Em $ y = 2 $:
    • À esquerda, $ y’ < 0 $ e à direita, $ y’ > 0 $. Isso indica que $ y = 2 $ é um ponto de equilíbrio instável (fonte).

Passo 5

Com todas essas informações, podemos esboçar os gráficos das soluções:
  • As curvas integrais se aproximam de $ y = 0 $ quando $ t $ aumenta (soluções estáveis).
  • Se a solução começa acima de $ y = 2 $ ou abaixo de $ y = -2 $, ela continua aumentando ou diminuindo respectivamente.
  • Entre $ -2 $ e $ 0 $, as soluções aumentam em direção a $ y = 0 $, e entre $ 0 $ e $ 2 $, diminuem também em direção a $ y = 0 $.

Resposta

As soluções da equação diferencial $ y’ = y^3 - 4y $ apresentam três pontos de equilíbrio em $ y = -2 $, $ y = 0 $ e $ y = 2 $. Os pontos $ y = -2 $ e $ y = 2 $ são instáveis, enquanto $ y = 0 $ é estável. No gráfico, as curvas integrais se movem em direção a $ y = 0 $ para $ -2 < y < 2 $ e se afastam de $ y = -2 $ e $ y = 2 $ quando $ y $ está fora desse intervalo.

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