Obtenha e classique os pontos críticos da função dada (diga se os máximos e os mínimos são globais ou não).
f(x, y)=3(x^2+3 y^2) e^-x^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar e classificar os pontos críticos da função $ f(x, y) = 3(x^{2} + 3y^{2}) e{-x{2} - y^{2}} $. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde analisamos funções com mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $, igualar essas derivadas a zero para achar os pontos críticos e, depois, usar a segunda derivada para classificar esses pontos como máximos, mínimos ou pontos de sela. Também vamos verificar se esses extremos são globais ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
f(x, y)
Aplicando a regra do produto:
x
y
Fatorando $ 3e{-x{2} - y^{2}} $:
x
Simplificando:
partial fpartial x = partialpartial x [ 3(x^2 + 3y^2) e^-x^2 - y^2 ]
Agora, a derivada parcial em relação a $ y $:
partial fpartial x = 3 cdot partialpartial x(x^2 + 3y^2) cdot e^-x^2 - y^2 + 3(x^2 + 3y^2) cdot partialpartial x(e^-x^2 - y^2)
Mesma abordagem:
partial fpartial x = 3(2x) e^-x^2 - y^2 + 3(x^2 + 3y^2)(-2x) e^-x^2 - y^2
3e^-x^2 - y^2
Fatorando $ 3e{-x{2} - y^{2}} $:
partial fpartial x = 3e^-x^2 - y^2 ( 2x - 2x(x^2 + 3y^2) )
Simplificando:
partial fpartial x = 6x e^-x^2 - y^2 (1 - x^2 - 3y^2)

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Então, temos:
partial fpartial x = 6x e^-x^2 - y^2 (1 - x^2 - 3y^2) = 0
partial fpartial y = 6y e^-x^2 - y^2 (3 - x^2 - 3y^2) = 0
Como o termo $ e{-x{2} - y^{2}} $ nunca é zero, podemos ignorá-lo. Vamos igualar os demais fatores a zero:
  1. $ 6x(1 - x^{2} - 3y^{2}) = 0 $
  2. $ 6y(3 - x^{2} - 3y^{2}) = 0 $
Isso nos dá duas possibilidades para cada equação:
Para a primeira equação:
  • $ x = 0 $
  • $ 1 - x^{2} - 3y^{2} = 0 $
Para a segunda equação:
  • $ y = 0 $
  • $ 3 - x^{2} - 3y^{2} = 0 $
Vamos analisar cada caso:
Caso 1: $ x = 0 $
Substituindo na segunda equação:
e^-x^2 - y^2
Então, temos os pontos críticos:
  • $ (0, 0) $
  • $ (0, 1) $
  • $ (0, -1) $
Caso 2: $ y = 0 $
Substituindo na primeira equação:
6x(1 - x^2 - 3y^2) = 0
Então, temos mais pontos críticos:
  • $ (0, 0) $
  • $ (1, 0) $
  • $ (-1, 0) $
Observamos que o ponto $ (0, 0) $ já foi listado, então os pontos críticos são:
  • $ (0, 0) $
  • $ (0, 1) $
  • $ (0, -1) $
  • $ (1, 0) $
  • $ (-1, 0) $

Passo 4

Agora que temos os pontos críticos, vamos classificá-los usando a segunda derivada. Precisamos calcular a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas parciais.
Primeiro, encontraremos as segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2
fyy = partial^2 fpartial y^2
fxy = partial^2 fpartial x partial y
Calculando essas derivadas pode ser um pouco trabalhoso, mas o objetivo é obter a forma geral da Hessiana para classificar os pontos críticos.
Após calcular, obtemos:
fxx = 6e^-x^2 - y^2 (1 - 3x^2 - 3y^2) - 12x^2 e^-x^2 - y^2 (1 - x^2 - 3y^2)
fyy = 6e^-x^2 - y^2 (3 - x^2 - 9y^2) - 36y^2 e^-x^2 - y^2 (3 - x^2 - 3y^2)
fxy = -36xy e^-x^2 - y^2 (1 - x^2 - 3y^2)
Para simplificar, podemos calcular o determinante da Hessiana $ D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 $ em cada ponto crítico e usar isso para classificar os pontos:
  • Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, temos um mínimo local.
  • Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, temos um máximo local.
  • Se $ D < 0 $, temos um ponto de sela.
  • Se $ D = 0 $, o teste é inconclusivo.
Vamos analisar cada ponto:
Ponto (0, 0):
Calculando as derivadas no ponto (0,0):
D = fxx fyy - (fxy)^2
D > 0
fxx > 0
Então, $ D = 6 \times 18 - 0 = 108 > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, logo, (0,0) é um mínimo local.
Ponto (0, 1):
D > 0
fxx < 0
D < 0
Então, $ D = (-12e^{-1}) \times (-36e^{-1}) - 0 = 432e^{-2} > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, logo, (0,1) é um máximo local.
Ponto (0, -1):
De forma similar ao ponto (0,1), teremos:
$ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, então (0,-1) também é um máximo local.
Ponto (1, 0):
D = 0
fxx(0, 0) = 6e^0 (1 - 0 - 0) = 6
fyy(0, 0) = 6e^0 (3 - 0 - 0) = 18
Então, $ D = (-12e^{-1}) \times 12e^{-1} - 0 = -144e^{-2} < 0 $, o que indica que (1,0) é um ponto de sela.
Ponto (-1, 0):
Assim como no ponto (1,0):
$ D < 0 $, então (-1,0) é também um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • $ (0, 0) $ — mínimo local
  • $ (0, 1) $ e $ (0, -1) $ — máximos locais
  • $ (1, 0) $ e $ (-1, 0) $ — pontos de sela
Nenhum desses extremos é global, ou seja, os máximos e mínimos identificados são apenas locais.

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