Obtenha e classique os pontos críticos da função dada (diga se os máximos e os mínimos são globais ou não).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar e classificar os pontos críticos da função $ f(x, y) = 3(x^{2} + 3y^{2}) e{-x{2} - y^{2}} $. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde analisamos funções com mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $, igualar essas derivadas a zero para achar os pontos críticos e, depois, usar a segunda derivada para classificar esses pontos como máximos, mínimos ou pontos de sela. Também vamos verificar se esses extremos são globais ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
Aplicando a regra do produto:
Fatorando $ 3e{-x{2} - y^{2}} $:
Simplificando:
Agora, a derivada parcial em relação a $ y $:
Mesma abordagem:
Fatorando $ 3e{-x{2} - y^{2}} $:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Então, temos:
Como o termo $ e{-x{2} - y^{2}} $ nunca é zero, podemos ignorá-lo. Vamos igualar os demais fatores a zero:
- $ 6x(1 - x^{2} - 3y^{2}) = 0 $
- $ 6y(3 - x^{2} - 3y^{2}) = 0 $
Isso nos dá duas possibilidades para cada equação:
Para a primeira equação:
- $ x = 0 $
- $ 1 - x^{2} - 3y^{2} = 0 $
Para a segunda equação:
- $ y = 0 $
- $ 3 - x^{2} - 3y^{2} = 0 $
Vamos analisar cada caso:
Caso 1: $ x = 0 $
Substituindo na segunda equação:
Então, temos os pontos críticos:
- $ (0, 0) $
- $ (0, 1) $
- $ (0, -1) $
Caso 2: $ y = 0 $
Substituindo na primeira equação:
Então, temos mais pontos críticos:
- $ (0, 0) $
- $ (1, 0) $
- $ (-1, 0) $
Observamos que o ponto $ (0, 0) $ já foi listado, então os pontos críticos são:
- $ (0, 0) $
- $ (0, 1) $
- $ (0, -1) $
- $ (1, 0) $
- $ (-1, 0) $
Passo 4
Agora que temos os pontos críticos, vamos classificá-los usando a segunda derivada. Precisamos calcular a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas parciais.
Primeiro, encontraremos as segundas derivadas:
Calculando essas derivadas pode ser um pouco trabalhoso, mas o objetivo é obter a forma geral da Hessiana para classificar os pontos críticos.
Após calcular, obtemos:
Para simplificar, podemos calcular o determinante da Hessiana $ D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 $ em cada ponto crítico e usar isso para classificar os pontos:
- Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, temos um mínimo local.
- Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, temos um máximo local.
- Se $ D < 0 $, temos um ponto de sela.
- Se $ D = 0 $, o teste é inconclusivo.
Vamos analisar cada ponto:
Ponto (0, 0):
Calculando as derivadas no ponto (0,0):
Então, $ D = 6 \times 18 - 0 = 108 > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, logo, (0,0) é um mínimo local.
Ponto (0, 1):
Então, $ D = (-12e^{-1}) \times (-36e^{-1}) - 0 = 432e^{-2} > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, logo, (0,1) é um máximo local.
Ponto (0, -1):
De forma similar ao ponto (0,1), teremos:
$ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, então (0,-1) também é um máximo local.
Ponto (1, 0):
Então, $ D = (-12e^{-1}) \times 12e^{-1} - 0 = -144e^{-2} < 0 $, o que indica que (1,0) é um ponto de sela.
Ponto (-1, 0):
Assim como no ponto (1,0):
$ D < 0 $, então (-1,0) é também um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
- $ (0, 0) $ — mínimo local
- $ (0, 1) $ e $ (0, -1) $ — máximos locais
- $ (1, 0) $ e $ (-1, 0) $ — pontos de sela
Nenhum desses extremos é global, ou seja, os máximos e mínimos identificados são apenas locais.