Use integral múltipla para determinar o volume do solido limitado
Pela superfície z=4-4 x^2-y^2 e pelo plano xy

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo para encontrar o volume do sólido limitado pela superfície $ z = 4 - 4x^2 - y^2 $ e pelo plano $ xy $. A gente vai usar integrais múltiplas para isso. Precisamos entender um pouco sobre integrais duplas e como definir a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que a superfície $ z = 4 - 4x^2 - y^2 $ representa. É uma parábola invertida que abre para baixo. O plano $ xy $ é simplesmente o chão, onde $ z = 0 $. Então, o sólido que queremos é a parte dessa parábola que está acima do plano $ xy $.

Passo 3

Para encontrar o volume, vamos usar uma integral dupla. A fórmula geral para o volume $ V $ é:
V
Aqui, $ R $ é a região no plano $ xy $ sobre a qual vamos integrar, e $ z $ é a altura da superfície acima dessa região.

Passo 4

Vamos substituir $ z $ pela equação da superfície:
z
Agora, precisamos determinar a região $ R $. Para isso, vamos achar onde a superfície corta o plano $ xy $.

Passo 5

Para encontrar a interseção, igualamos $ z = 0 $:
z = 0
Essa é a equação de uma elipse no plano $ xy $. Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 4:
0 = 4 - 4x^2 - y^2 4x^2 + y^2 = 4
Isso mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimento 1 na direção $ x $ e 2 na direção $ y $.

Passo 6

Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável que transforma essa elipse em um círculo. Vamos definir:
x = u y = 2v
Com essa substituição, a equação da elipse fica:
u^2 + v^2 = 1
Isso é um círculo unitário, o que simplifica bastante a integração.

Passo 7

Precisamos também calcular o determinante jacobiano dessa mudança de variável para ajustar o elemento de área $ dA $:

$$
\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} =
dA

partial(x, y)partial(u, v) = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 1 & 0 0 & 2 = 2
= 2
$$
Então, $ dA = 2 , du , dv $.

Passo 8

Vamos reescrever a integral do volume com as novas variáveis:
V = integral duplau^2 + v^2 <= 1 (4 - 4u^2 - (2v)^2) cdot 2 , du , dv V = integral duplau^2 + v^2 <= 1 (4 - 4u^2 - 4v^2) cdot 2 , du , dv V = integral duplau^2 + v^2 <= 1 (8 - 8u^2 - 8v^2) , du , dv

Passo 9

Agora, vamos separar a integral em partes:
V = 8 integral duplau^2 + v^2 <= 1 1 , du , dv - 8 integral duplau^2 + v^2 <= 1 (u^2 + v^2) , du , dv
A primeira integral é a área do círculo unitário multiplicada por 8, e a segunda integral envolve $ u^2 + v^2 $.

Passo 10

Sabemos que a área do círculo unitário é $ \pi $, então:
pi
Para a segunda parte, usamos coordenadas polares onde $ u^2 + v^2 = r^2 $ e $ du , dv = r , dr , d\theta $:
8 integral duplau^2 + v^2 <= 1 1 , du , dv = 8pi
Então:
u^2 + v^2 = r^2

Passo 11

Finalmente, somamos as duas partes:
V = 8pi - 4pi = 4pi

Resposta

O volume do sólido é $ 4\pi $.

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