Use integral múltipla para determinar o volume do solido limitado
Pela superfície
e pelo plano xy
Pela superfície
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo para encontrar o volume do sólido limitado pela superfície $ z = 4 - 4x^2 - y^2 $ e pelo plano $ xy $. A gente vai usar integrais múltiplas para isso. Precisamos entender um pouco sobre integrais duplas e como definir a região de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que a superfície $ z = 4 - 4x^2 - y^2 $ representa. É uma parábola invertida que abre para baixo. O plano $ xy $ é simplesmente o chão, onde $ z = 0 $. Então, o sólido que queremos é a parte dessa parábola que está acima do plano $ xy $.
Passo 3
Para encontrar o volume, vamos usar uma integral dupla. A fórmula geral para o volume $ V $ é:
Aqui, $ R $ é a região no plano $ xy $ sobre a qual vamos integrar, e $ z $ é a altura da superfície acima dessa região.
Passo 4
Vamos substituir $ z $ pela equação da superfície:
Agora, precisamos determinar a região $ R $. Para isso, vamos achar onde a superfície corta o plano $ xy $.
Passo 5
Para encontrar a interseção, igualamos $ z = 0 $:
Essa é a equação de uma elipse no plano $ xy $. Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 4:
Isso mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimento 1 na direção $ x $ e 2 na direção $ y $.
Passo 6
Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável que transforma essa elipse em um círculo. Vamos definir:
Com essa substituição, a equação da elipse fica:
Isso é um círculo unitário, o que simplifica bastante a integração.
Passo 7
Precisamos também calcular o determinante jacobiano dessa mudança de variável para ajustar o elemento de área $ dA $:
$$
\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} =
= 2
$$
Então, $ dA = 2 , du , dv $.
Passo 8
Vamos reescrever a integral do volume com as novas variáveis:
Passo 9
Agora, vamos separar a integral em partes:
A primeira integral é a área do círculo unitário multiplicada por 8, e a segunda integral envolve $ u^2 + v^2 $.
Passo 10
Sabemos que a área do círculo unitário é $ \pi $, então:
Para a segunda parte, usamos coordenadas polares onde $ u^2 + v^2 = r^2 $ e $ du , dv = r , dr , d\theta $:
Então:
Passo 11
Finalmente, somamos as duas partes:
Resposta
O volume do sólido é $ 4\pi $.