Use integral múltipla para determinar o volume do solido limitado
Pelo cilindro x^2+4 y^2=4 e planos z=0 e z=x+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular o volume de um sólido que está limitado por um cilindro e por dois planos. Especificamente, o cilindro é dado pela equação x^2 + 4y^2 = 4 e os planos são z = 0 (o plano xy) e z = x + 2. Vamos usar integrais múltiplas para achar esse volume. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas cartesianas e como configurar a integral tripla para calcular volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o cilindro x^2 + 4y^2 = 4. Essa equação representa um cilindro elíptico, já que os coeficientes de x^2 e y^2 são diferentes. Podemos reescrever a equação dividindo ambos os lados por 4:
x^24 + y^2 = 1
Isso mostra que a base do cilindro é uma elipse com semi-eixos de comprimento 2 no eixo x e 1 no eixo y.

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites para nossas integrais. O sólido está limitado verticalmente entre z = 0 e z = x + 2. Isso significa que, para cada ponto (x, y) dentro do cilindro, z vai de 0 até x + 2.

Passo 4

Vamos montar a integral tripla para o volume. Em coordenadas cartesianas, o volume V pode ser calculado por:
V = integral integral integralD , dz , dy , dx
Onde D é a região limitada pelo cilindro e pelos planos. Como z varia de 0 a x + 2, podemos integrar primeiro em z, depois em y e x.

Passo 5

Vamos determinar os limites para x e y. A equação do cilindro reescrita é:
x^24 + y^2 <= 1
Isso define uma elipse. Resolvendo para y, temos:
y = pm raiz1 - x^24
E para x, sabemos que x varia de -2 a 2.

Passo 6

Agora, podemos escrever a integral tripla completa:
V = integral-2^2 integral-raiz1 - x^24^raiz1 - x^24 integral0^x + 2 dz , dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 7

Integrando em z primeiro:
integral0^x + 2 dz = z |0^x + 2 = x + 2
Então a integral fica:
V = integral-2^2 integral-raiz1 - x^24^raiz1 - x^24 (x + 2) , dy , dx

Passo 8

Agora, vamos integrar em y. A integral de x + 2 em relação a y é:
(x + 2) cdot y |-raiz1 - x^24^raiz1 - x^24 = (x + 2) ( raiz1 - x^24 - (-raiz1 - x^24) ) = 2(x + 2)raiz1 - x^24
Então a integral agora é:
V = integral-2^2 2(x + 2)raiz1 - x^24 , dx

Passo 9

Observamos que a função é par em relação a x, então podemos simplificar a integral:
V = 2 integral0^2 2(x + 2)raiz1 - x^24 , dx = 4 integral0^2 (x + 2)raiz1 - x^24 , dx

Passo 10

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Vamos definir u = x2, então x = 2u e dx = 2 du. Os limites de integração mudam de x = 0 para u = 0 e x = 2 para u = 1.
Substituindo na integral:
V = 4 cdot 2 integral0^1 (2u + 2)raiz1 - u^2 , du = 8 integral0^1 (2(u + 1))raiz1 - u^2 , du = 16 integral0^1 (u + 1)raiz1 - u^2 , du

Passo 11

Vamos dividir a integral em duas partes:
16 ( integral0^1 uraiz1 - u^2 , du + integral0^1 raiz1 - u^2 , du )
A primeira integral pode ser resolvida usando substituição, e a segunda é uma integral padrão que representa um quarto de círculo.

Passo 12

Resolvendo a primeira integral:
integral u raiz1 - u^2 , du
Vamos usar a substituição v = 1 - u^2, então dv = -2u , du, ou u , du = -12 dv.
A integral fica:
-12 integral raizv , dv = -12 cdot 23 v^3/2 + C = -13 (1 - u^2)^3/2 + C
Evaluando de 0 a 1:
-13 (1 - 1)^3/2 + 13 (1 - 0)^3/2 = 13

Passo 13

A segunda integral é:
integral0^1 raiz1 - u^2 , du
Isso representa a área de um quarto de círculo de raio 1, que é pi4.

Passo 14

Agora, juntando tudo:
V = 16 ( 13 + pi4 ) = 163 + 4pi

Resposta

O volume do sólido é 163 + 4pi unidades cúbicas.

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