Use integral múltipla para determinar o volume do solido limitado
Pelo cilindro e planos e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular o volume de um sólido que está limitado por um cilindro e por dois planos. Especificamente, o cilindro é dado pela equação e os planos são (o plano xy) e . Vamos usar integrais múltiplas para achar esse volume. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas cartesianas e como configurar a integral tripla para calcular volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o cilindro . Essa equação representa um cilindro elíptico, já que os coeficientes de e são diferentes. Podemos reescrever a equação dividindo ambos os lados por 4:
Isso mostra que a base do cilindro é uma elipse com semi-eixos de comprimento 2 no eixo x e 1 no eixo y.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites para nossas integrais. O sólido está limitado verticalmente entre e . Isso significa que, para cada ponto dentro do cilindro, vai de 0 até .
Passo 4
Vamos montar a integral tripla para o volume. Em coordenadas cartesianas, o volume pode ser calculado por:
Onde é a região limitada pelo cilindro e pelos planos. Como varia de 0 a , podemos integrar primeiro em , depois em e .
Passo 5
Vamos determinar os limites para e . A equação do cilindro reescrita é:
Isso define uma elipse. Resolvendo para , temos:
E para , sabemos que varia de -2 a 2.
Passo 6
Agora, podemos escrever a integral tripla completa:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 7
Integrando em primeiro:
Então a integral fica:
V = integral-2^2 integral-raiz1 - x^24^raiz1 - x^24 (x + 2) , dy , dx
Passo 8
Agora, vamos integrar em y. A integral de x + 2 em relação a y é:
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Vamos definir u = x2, então x = 2u e dx = 2 du. Os limites de integração mudam de x = 0 para u = 0 e x = 2 para u = 1.
Substituindo na integral:
V = 4 cdot 2 integral0^1 (2u + 2)raiz1 - u^2 , du = 8 integral0^1 (2(u + 1))raiz1 - u^2 , du = 16 integral0^1 (u + 1)raiz1 - u^2 , du
Passo 11
Vamos dividir a integral em duas partes:
16 ( integral0^1 uraiz1 - u^2 , du + integral0^1 raiz1 - u^2 , du )
A primeira integral pode ser resolvida usando substituição, e a segunda é uma integral padrão que representa um quarto de círculo.
Passo 12
Resolvendo a primeira integral:
integral u raiz1 - u^2 , du
Vamos usar a substituição v = 1 - u^2, então dv = -2u , du, ou u , du = -12 dv.
A integral fica:
-12 integral raizv , dv = -12 cdot 23 v^3/2 + C = -13 (1 - u^2)^3/2 + C
Evaluando de 0 a 1:
-13 (1 - 1)^3/2 + 13 (1 - 0)^3/2 = 13
Passo 13
A segunda integral é:
integral0^1 raiz1 - u^2 , du
Isso representa a área de um quarto de círculo de raio 1, que é pi4.