Obs. para 8) e 9): A integral de uma curva (ou função vetorial) F(t)=(F1(t), ldots, Fn(t)), no intervalo [a, b], é simplesmente a integral de cada uma de suas funções coordenadas, ou seja
integrala^b F(t) d t=(integrala^b F1(t) d t, integrala^b F2(t) d t, ldots, integrala^b Fn(t) d t)
Obtém-se assim um vetor numérico (pois cada uma destas integrais é um número real).
Calcule a integral das seguintes curvas em R^2, no intervalo [0, pi].
F(t)=(2 sen t, 2 cos t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de uma curva no plano R^2, que é dada por F(t) = (2 sin t, 2 cos t), no intervalo de t igual a 0 até pi. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como integrar cada componente da curva separadamente e depois juntar os resultados para obter o vetor integral final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa integrar uma função vetorial. Quando temos uma curva F(t) = (F1(t), F2(t)), a integral dessa curva no intervalo [a, b] é simplesmente a integral de cada componente separadamente. Ou seja:
integrala^b F(t) dt = ( integrala^b F1(t) dt, integrala^b F2(t) dt )
Isso nos dá um vetor cujas componentes são os resultados das integrais das funções individuais.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso caso específico. Nossa função vetorial é F(t) = (2 sin t, 2 cos t), e queremos integrar de t = 0 até t = pi. Vamos dividir isso em duas integrais separadas:
  1. Integrar a primeira componente: 2 sin t
  2. Integrar a segunda componente: 2 cos t

Passo 4

Vamos começar integrando a primeira componente:
integral0^pi 2 sin t , dt
A integral de sin t em relação a t é - cos t, então:
2 integral0^pi sin t , dt = 2 [ - cos t ]0^pi = 2 [ -cos pi + cos 0 ]
Sabemos que cos pi = -1 e cos 0 = 1, então:
2 [ -(-1) + 1 ] = 2 [1 + 1] = 2 times 2 = 4

Passo 5

Agora, vamos integrar a segunda componente:
integral0^pi 2 cos t , dt
A integral de cos t em relação a t é sin t, então:
2 integral0^pi cos t , dt = 2 [ sin t ]0^pi = 2 [ sin pi - sin 0 ]
Sabemos que sin pi = 0 e sin 0 = 0, então:
2 [0 - 0] = 2 times 0 = 0

Resposta

Portanto, a integral da curva F(t) = (2 sin t, 2 cos t) no intervalo de 0 a pi é o vetor:
(4, 0)

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