Obs. para 8) e 9): A integral de uma curva (ou função vetorial)
, no intervalo
, é simplesmente a integral de cada uma de suas funções coordenadas, ou seja
Obtém-se assim um vetor numérico (pois cada uma destas integrais é um número real).
Calcule a integral das seguintes curvas em
, no intervalo
.
Calcule a integral das seguintes curvas em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de uma curva no plano
, que é dada por
, no intervalo de
igual a
até
. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como integrar cada componente da curva separadamente e depois juntar os resultados para obter o vetor integral final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa integrar uma função vetorial. Quando temos uma curva
, a integral dessa curva no intervalo
é simplesmente a integral de cada componente separadamente. Ou seja:
Isso nos dá um vetor cujas componentes são os resultados das integrais das funções individuais.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso caso específico. Nossa função vetorial é
, e queremos integrar de
até
. Vamos dividir isso em duas integrais separadas:
- Integrar a primeira componente:
- Integrar a segunda componente:
Passo 4
Vamos começar integrando a primeira componente:
A integral de
em relação a
é
, então:
Sabemos que
e
, então:
Passo 5
Agora, vamos integrar a segunda componente:
A integral de
em relação a
é
, então:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
Portanto, a integral da curva
no intervalo de
a
é o vetor: