Um sistema com dois graus de liberdade é descrito pela seguinte Lagrangiana:
Aplique o Teorema de Noether e encontre a quantidade conservada associada à transformação do item (a).
Passo 1
Então, o exercício diz que temos um sistema com duas coordenadas
e
descrito pela Lagrangiana
onde
e
são constantes. O conteúdo aqui é Mecânica Analítica (Lagrangeano) e, em particular, o Teorema de Noether, que relaciona simetrias contínuas a quantidades conservadas. Para resolver, precisamos:
- identificar a transformação “do item (a)” (que é uma rotação infinitesimal no plano),
- lembrar a fórmula de Noether para o gerador conservado,
- calcular as variações
e os momentos canônicos , - montar a expressão de Noether e extrair a constante de movimento.
Passo 2
Qual é a simetria? A Lagrangiana só depende de
e de
, então é invariante sob rotações no plano. A rotação infinitesimal de ângulo
gera
Isso significa que, a partir dessa transformação, podemos usar Noether para achar o “carga” conservada.
Passo 3
Lembrando o Teorema de Noether: se
varia (no máximo) por derivada total, então
é constante. Aqui não tem derivada exata sobrando, ou seja, a Lagrangiana é estritamente invariante, então basta
Passo 4
Substituindo na fórmula de Noether:
Como
é só um parâmetro infinitesimal, a parte que fazemos constante é
que é o momento angular
no plano.
Resposta
A quantidade conservada associada à rotação infinitesimal (
) é