Um sistema com dois graus de liberdade é descrito pela seguinte Lagrangiana:
L=m2(dotx^2+doty^2)-lambdax^2+y^2, m, lambda constantes
Aplique o Teorema de Noether e encontre a quantidade conservada associada à transformação do item (a).

Passo 1

Então, o exercício diz que temos um sistema com duas coordenadas L = m2l(dot x^2 + dot y^2r);-;lambdax^2+y^2, e descrito pela Lagrangiana
onde e são constantes. O conteúdo aqui é Mecânica Analítica (Lagrangeano) e, em particular, o Teorema de Noether, que relaciona simetrias contínuas a quantidades conservadas. Para resolver, precisamos:
  1. identificar a transformação “do item (a)” (que é uma rotação infinitesimal no plano),
  2. lembrar a fórmula de Noether para o gerador conservado,
  3. calcular as variações e os momentos canônicos ,
  4. montar a expressão de Noether e extrair a constante de movimento.

Passo 2

Qual é a simetria? A Lagrangiana só depende de de e de , então é invariante sob rotações no plano. A rotação infinitesimal de ângulo gera
Isso significa que, a partir dessa transformação, podemos usar Noether para achar o “carga” conservada.

Passo 3

Lembrando o Teorema de Noether: se Q = sumi pi,de varia (no máximo) por derivada total, então
px = partial Lpartialdot x = m,dot x, py = partial Lpartialdot y = m,dot y
é constante. Aqui não tem derivada exata sobrando, ou seja, a Lagrangiana é estritamente invariante, então basta

Passo 4

Substituindo na fórmula de Noether:
Q = px,de
Como J = ml(x,dot y - y,dot xr), é só um parâmetro infinitesimal, a parte que fazemos constante é
que é o momento angular no plano.

Resposta

A quantidade conservada associada à rotação infinitesimal ( boxedJ = m,(x,dot y ;-; y,dot x), ) é

Exercícios relacionados