OBS: 1. Não usar LHopital - os limites devem ser calculados por manipulação algébrica.
2. Não usar regras de derivação. As derivadas devem ser determinadas pela definição.
3. Serão considerados como limites fundamentais apenas os do formulário. Qualquer outro limite que for utilizado deverá ser calculado.
(1,0) Calcule lim x 0 2^3 x-14^2 x-1.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse limite juntos. A questão pede para calcularmos:
limx to 0 2^3x - 14^2x - 1
Aqui, estamos trabalhando com limites, um conceito fundamental em cálculo. Para resolver isso sem usar regras avançadas como L’Hospital, vamos precisar manipular as expressões algébricas das funções exponenciais para simplificar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as bases das potências para facilitar nosso trabalho. Sabemos que limx to 0 2^3x - 12^4x - 1 pode ser escrito como . Então, nosso limite fica assim:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que quando 2^kx approx 1 + kx ln 2 está próximo de 0, podemos usar a aproximação:
2^3x approx 1 + 3x ln 2
onde 2^4x approx 1 + 4x ln 2 é uma constante. Isso é baseado na expansão de Taylor para funções exponenciais próximo de 0.
Então, aplicando isso a e :

Passo 4

Substituindo essas aproximações no nosso limite:
limx to 0 (1 + 3x ln 2) - 1(1 + 4x ln 2) - 1 = limx to 0 3x ln 24x ln 2

Passo 5

Agora, simplificamos a fração:
3x ln 24x ln 2 = 34
Os termos 34 e se cancelam, deixando apenas:

Resposta

O limite é .

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