OBS: 1. Não usar LHopital - os limites devem ser calculados por manipulação algébrica.
2. Não usar regras de derivação. As derivadas devem ser determinadas pela definição.
3. Serão considerados como limites fundamentais apenas os do formulário. Qualquer outro limite que for utilizado deverá ser calculado.
(1,0) Use a definição formal de limite para mostrar que lim x 2(4 x-2)=6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limite juntos! A gente precisa mostrar que quando se aproxima de 2 na função , o valor dessa função se aproxima de 6. Para isso, vamos usar a definição formal de limite, que é tipo uma regra que nos ajuda a provar esse tipo de coisa passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição formal de limite. Diz assim: Dizemos que se, para todo número positivo pequeno , existe outro número positivo tal que, sempre que , então .

Passo 3

No nosso caso, queremos provar que . Então, vamos identificar , e .

Passo 4

Vamos começar aplicando a definição. Temos que, para qualquer , precisamos encontrar um tal que, se , então .

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
|(4x - 2) - 6| = |4x - 8| = 4|x - 2|
Queremos que isso seja menor que 4|x - 2| < epsilon :
|x - 2| < epsilon4
Dividindo ambos os lados por 4:

Passo 6

Então, se escolhermos 4|x - 2| < 4 cdot epsilon4 = epsilon , sempre que , teremos:
O que satisfaz nossa condição.

Resposta

Portanto, .

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