OBS: 1. Não usar LHopital - os limites devem ser calculados por manipulação algébrica.
2. Não usar regras de derivação. As derivadas devem ser determinadas pela definição.
3. Serão considerados como limites fundamentais apenas os do formulário. Qualquer outro limite que for utilizado deverá ser calculado.
Use a definição formal de limite para mostrar que
.
2. Não usar regras de derivação. As derivadas devem ser determinadas pela definição.
3. Serão considerados como limites fundamentais apenas os do formulário. Qualquer outro limite que for utilizado deverá ser calculado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de limite juntos! A gente precisa mostrar que quando
se aproxima de 2 na função
, o valor dessa função se aproxima de 6. Para isso, vamos usar a definição formal de limite, que é tipo uma regra que nos ajuda a provar esse tipo de coisa passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição formal de limite. Diz assim: Dizemos que
se, para todo número positivo pequeno
, existe outro número positivo
tal que, sempre que
, então
.
Passo 3
No nosso caso, queremos provar que
. Então, vamos identificar
,
e
.
Passo 4
Vamos começar aplicando a definição. Temos que, para qualquer
, precisamos encontrar um
tal que, se
, então
.
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Queremos que isso seja menor que
:
Dividindo ambos os lados por 4:
Passo 6
Então, se escolhermos
, sempre que
, teremos:
O que satisfaz nossa condição.
Resposta
Portanto,
.