Calcule a integral dupla integral duplaD e^-(x^2+y^2) dA onde D é a região contida na circunferência x^2+y^2=1.

Passo 1

Vamos resumir o que a gente precisa fazer. Temos que calcular a integral dupla integral duplaD e^-(x^2+y^2) , dA, onde D é a área dentro da circunferência x^2+y^2=1. Isso envolve conhecimentos de cálculo de integrais duplas e mudança para coordenadas polares, que vão facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (r, theta). As relações são:
x = r costheta e y = r sintheta
Além disso, o elemento de área dA em coordenadas polares é dado por:
dA = r , dr , dtheta

Passo 3

Agora, precisamos descrever a região D em coordenadas polares. A circunferência x^2+y^2=1 se transforma em:
0 <= r <= 1 e 0 <= theta <= 2pi
Isso significa que r varia de 0 a 1 e theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a circunferência.

Passo 4

Vamos reescrever a integral dupla em coordenadas polares usando as informações anteriores:
integral duplaD e^-(x^2+y^2) , dA = integral0^2pi integral0^1 e^-r^2 cdot r , dr , dtheta
Aqui, substituímos x^2+y^2 por r^2 e dA por r , dr , dtheta.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a r:
integral0^1 r e^-r^2 , dr
Fazendo a substituição u = -r^2, temos du = -2r , dr, ou seja, r , dr = -12 du. A integral fica:
- 12 integral0^-1 e^u , du = 12 (1 - e^-1)

Passo 6

Agora, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 12 (1 - e^-1) , dtheta = 12 (1 - e^-1) cdot 2pi = pi (1 - e^-1)

Resposta

A integral vale pi (1 - e^-1).

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