Calcule a integral dupla
dA onde
é a região contida na circunferência
.
Passo 1
Vamos resumir o que a gente precisa fazer. Temos que calcular a integral dupla
, onde
é a área dentro da circunferência
. Isso envolve conhecimentos de cálculo de integrais duplas e mudança para coordenadas polares, que vão facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
. As relações são:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é dado por:
Passo 3
Agora, precisamos descrever a região
em coordenadas polares. A circunferência
se transforma em:
Isso significa que
varia de 0 a 1 e
varia de 0 a
para cobrir toda a circunferência.
Passo 4
Vamos reescrever a integral dupla em coordenadas polares usando as informações anteriores:
Aqui, substituímos
por
e
por
.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazendo a substituição
, temos
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral vale
.