Obs. Um processo ou sistema adiabático é aquele que ocorre sem troca de calor entre um sistema e o ambiente exterior. A palavra deriva do grego adiábatos, que significa “impenetráve!”. Como nenhuma energia térmica entra ou sai, a mudança de temperatura acontece puramente devido à variaçåo de pressão, volume ou trabalho.
Q. 1 Uma máquina térmica utiliza 1 mol de um gás ideal monoatômico e opera segundo o ciclo termodinâmico \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C} \rightarrow \mathrm{D} \rightarrow \mathrm{E} \rightarrow \mathrm{A}, composto por cinco transformações reversiveis descritas a seguir.
Processo A \rightarrow B (expansão isotérmica): O gás expande-se reversivelmente à temperatura constante de 600 K , enquanto seu volume varia de 10 L para 20 L .
Processo \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C} (expansão adiabática): A partir do estado B , o gás continua se expandindo reversivelmente sem troca de calor com o meio externo até atingir a temperatura de 400 K .
Processo \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{D} (resfriamento isocórico): Mantendo o volume constante, o gás é resfriado até a temperatura de 300 K .
Processo D \rightarrow E (compressão isobárica): O gás é comprimido a pressão constante até retornar ao volume inicial do ciclo, igual a 10 L .
Processo \mathrm{E} \rightarrow \mathrm{A} (aquecimento isocórico): Mantendo o volume constante, o gás é aquecido até retornar ao estado inicial A, completando o ciclo. Considere os seguintes dados: Constante universal dos gases: R=8,31 \mathrm{~J} /(\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K}), e para o gás ideal monoatômico: \mathrm{Cv}=(3 / 2) \mathrm{R}, \mathrm{Cp}= (5 / 2) \mathrm{R}, e \gamma=5 / 3.
Determine:
e) (0,2 ponto)
f) ( 0,3 ponto) O rendimento de uma máquina de Carnot operando entre as temperaturas máxima e minima do ciclo. Compare esse valor com o rendimento calculado no item anterior.

Passo 1

O enunciado dá um ciclo com n=1 mol de gás ideal monoatômico e as cinco transformações abaixo (observe que converti volumes de L para m ^3 usando 1\\ \text{L}=10^{-3}\\ \text{m}^3):
  • Processo A \to B: expansão isotérmica a T_A=T_B=600\\ \text{K}, de V_A=10\\ \text{L}=0{,}010\\ \text{m}^3 para V_B=20\\ \text{L}=0{,}020\\ \text{m}^3.
  • Processo B \to C: expansão adiabática reversível até T_C=400\\ \text{K}.
  • Processo C \to D: resfriamento isocórico (volume constante) até T_D=300\\ \text{K}.
  • Processo D \to E: compressão isobárica até o volume voltar ao inicial V_E=V_A=10\\ \text{L}=0{,}010\\ \text{m}^3.
  • Processo E \to A: aquecimento isocórico até retornar a T_A=600\\ \text{K}.
Dados numéricos e parâmetros do gás:
  • R=8{,}31\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Para gás monoatômico: C_V=\tfrac{3}{2}R=12{,}465\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}, C_P=\tfrac{5}{2}R=20{,}775\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • \gamma=\dfrac{C_P}{C_V}=\dfrac{5}{3}.
O que o enunciado pede nos itens (e) e (f):
  • (e) calcular o rendimento (eficiência) da máquina térmica que executa o ciclo dado.
  • (f) calcular o rendimento de uma máquina de Carnot entre as temperaturas máxima e mínima do ciclo e comparar com o rendimento do item (e).

Passo 2

Primeiro vamos determinar os estados intermediários (pressões, volumes e temperaturas) necessários para calcular calores e trabalhos. Usaremos a equação dos gases ideais e a relação adiabática reversível para gás ideal.
Fórmulas básicas que vamos usar (explicação rápida):
  • Eq. dos gases ideais: \,P V = n R T\,. Aqui P é pressão, V volume, T temperatura absoluta, n número de mols e R constante dos gases.
  • Para uma expansão adiabática reversível de gás ideal com \gamma=C_P/C_V vale \,T V^{\gamma-1}=\text{constante}\,. Isso vem de combinar P V^\gamma= constante com P=nRT/V.
Já sabemos V_A=0{,}010\\ \text{m}^3, V_B=0{,}020\\ \text{m}^3, T_A=T_B=600\\ \text{K}, T_C=400\\ \text{K}, T_D=300\\ \text{K}, V_E=V_A=0{,}010\\ \text{m}^3.
Cálculo do volume em C (adiabático B\to C). Usando \,T_B V_B^{\gamma-1}=T_C V_C^{\gamma-1}\,, isolamos V_C:
V_C = V_B\left(\dfrac{T_B}{T_C}\right)^{\dfrac{1}{\gamma-1}}.
Com \gamma=\tfrac{5}{3}\Rightarrow \gamma-1=\tfrac{2}{3} e 1/(\gamma-1)=\tfrac{3}{2}. Então
V_C = 0{,}020\\ \mathrm{m^3}\times\left(\dfrac{600}{400}\right)^{3/2} =0{,}020\times(1{,}5)^{3/2}.
Calculemos numericamente:
(1{,}5)^{3/2}\approx 1{,}837117\quad\Rightarrow\quad V_C\approx 0{,}020\times1{,}837117=0{,}0367423\\ \mathrm{m^3}.
Pressões em A, B, C e D pela lei dos gases ideais:
P_A=\dfrac{nRT_A}{V_A}=\dfrac{1\cdot8{,}31\cdot600}{0{,}010}\approx 4{,}986\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
P_B=\dfrac{1\cdot8{,}31\cdot600}{0{,}020}\approx 2{,}493\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
P_C=\dfrac{1\cdot8{,}31\cdot400}{V_C}\approx \dfrac{3324}{0{,}0367423}\approx 9{,}049\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
No estado D (mesmo volume de C, V_D=V_C e T_D=300\\ \text{K}):
P_D=\dfrac{1\cdot8{,}31\cdot300}{V_D}\approx \dfrac{2493}{0{,}0367423}\approx 6{,}7869\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
Na compressão isobárica D\to E a pressão é P_D (constante) e o volume final é V_E=0{,}010\\ \mathrm{m^3}. Então a temperatura em E é
T_E=\dfrac{P_D V_E}{nR}=T_D\frac{V_E}{V_D}=300\cdot\frac{0{,}010}{0{,}0367423}\approx 81{,}616\\ \mathrm{K}.
Resumo dos estados (valores que usarei nos cálculos):
  • A: T_A=600\\ \mathrm{K},\\ V_A=0{,}010\\ \mathrm{m^3}.
  • B: T_B=600\\ \mathrm{K},\\ V_B=0{,}020\\ \mathrm{m^3}.
  • C: T_C=400\\ \mathrm{K},\\ V_C\approx0{,}0367423\\ \mathrm{m^3}.
  • D: T_D=300\\ \mathrm{K},\\ V_D=0{,}0367423\\ \mathrm{m^3}.
  • E: T_E\approx81{,}616\\ \mathrm{K},\\ V_E=0{,}010\\ \mathrm{m^3}.

Passo 3

Agora calculamos o calor trocado Q e o trabalho W em cada processo. Relembre (sinteticamente):
  • Para processo isotérmico reversível de gás ideal a T constante:
Q_{\text{isot}}=W_{\text{isot}}=nRT\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right).
  • Para adiabático reversível: Q=0 e \Delta U = -W (ou W=-\Delta U), com \Delta U = n C_V \Delta T.
  • Para isocórico: W=0 e Q=\Delta U = n C_V \Delta T.
  • Para isobárico: W = P \Delta V (trabalho realizado pelo gás) e Q = n C_P \Delta T.
Vamos aplicar para cada trecho (com n=1).
  1. Trecho A\to B (isotérmico a T=600\\ \mathrm{K}):
Q_{AB}=n R T\ln\!\left(\dfrac{V_B}{V_A}\right) =8{,}31\cdot600\cdot\ln(2).
Numérico:
Q_{AB}\approx 4986\cdot0{,}693147\approx 3456{,}03\\ \mathrm{J}.
  1. Trecho B\to C (adiabático reversível):
Q_{BC}=0,\qquad \Delta U_{BC}=n C_V (T_C-T_B)=12{,}465\cdot(400-600)=-2493{,}0\\ \mathrm{J}.
Como Q=0, o trabalho realizado pelo gás neste trecho é
W_{BC}=-\Delta U_{BC}=+2493{,}0\\ \mathrm{J}.
  1. Trecho C\to D (isocórico, V constante):
W_{CD}=0,\qquad Q_{CD}=n C_V (T_D-T_C)=12{,}465\cdot(300-400)=-1246{,}5\\ \mathrm{J}.
Ou seja, calor retirado do gás: -1246{,}5\\ \mathrm{J}.
  1. Trecho D\to E (isobárico, pressão P_D, compressão de V_D para V_E):
  • Trabalho realizado pelo gás:
W_{DE}=P_D(V_E-V_D).
Numérico:
\Delta V = V_E-V_D=0{,}010-0{,}0367423=-0{,}0267423\\ \mathrm{m^3},
W_{DE}=P_D\Delta V\approx 6{,}7869\times10^{4}\cdot(-0{,}0267423)\approx -1814{,}82\\ \mathrm{J}.
(negativo porque foi compressão — trabalho realizado sobre o gás).
  • Calor trocado:
Q_{DE}=n C_P (T_E-T_D)=20{,}775\cdot(81{,}616-300)\approx -4536{,}34\\ \mathrm{J}.
  1. Trecho E\to A (isocórico, aquecimento de T_E até 600\\ \mathrm{K}):
W_{EA}=0,\qquad Q_{EA}=n C_V (T_A-T_E)=12{,}465\cdot(600-81{,}616)\approx 6461{,}24\\ \mathrm{J}.
Verificação energética (fechamento do ciclo): somando todos os Q obtém-se o calor líquido recebido pelo ciclo; pela 1ª lei do ciclo fechado \Delta U_{\text{ciclo}}=0\Rightarrow W_{\text{líquido}}=Q_{\text{líquido}}íí.
Somatório dos calores (entradas positivas, saídas negativas):
Q_{\text{total}}=Q_{AB}+Q_{BC}+Q_{CD}+Q_{DE}+Q_{EA}
=3456{,}03 + 0 -1246{,}50 -4536{,}34 +6461{,}24 \approx 4134{,}42\\ \mathrm{J}.
Logo o trabalho líquido realizado pelo gás no ciclo é
W_{\text{líquido}}=Q_{\text{total}}\approx 4134{,}42\\ \mathrm{J}.í
Para o rendimento da máquina térmica precisamos do calor total absorvido (somente as entradas de calor): identificamos entradas positivas em A\to B e E\to A:
Q_{\text{in}}=Q_{AB}+Q_{EA}\approx 3456{,}03 + 6461{,}24 = 9917{,}26\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Cálculo do rendimento (eficiência) da máquina térmica do ciclo:
Definição: o rendimento \eta é a razão entre o trabalho líquido extraído e o calor absorvido:
\eta=\dfrac{W_{\text{líquido}}}{Q_{\text{in}}}.í
Substituindo os valores obtidos:
\eta \approx \dfrac{4134{,}42}{9917{,}26}\approx 0{,}41676\approx 41{,}68\%.
Explicando em palavras: de cada 100\\ \mathrm{J} de calor absorvidos pela máquina, cerca de 41{,}7\\ \mathrm{J} são convertidos em trabalho útil; o restante é rejeitado ao ambiente durante os passos de resfriamento/compressão.

Passo 5

Agora o item (f): rendimento de uma máquina de Carnot operando entre as temperaturas máxima e mínima do ciclo e comparação.
  • Temperatura máxima do ciclo: T_{\max}=T_A=600\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura mínima do ciclo: o estado mais frio é T_E\approx81{,}616\\ \mathrm{K}.
Rendimento da máquina de Carnot entre T_{\max} e T_{\min}:
\eta_{\text{Carnot}}=1-\dfrac{T_{\min}}{T_{\max}}=1-\dfrac{T_E}{T_A}.
Numérico:
\eta_{\text{Carnot}}=1-\dfrac{81{,}616}{600}\approx 1-0{,}136026\approx 0{,}86397\approx 86{,}40\%.
Comparação: o rendimento real do ciclo ( \approx41{,}68\%) é bem menor que o rendimento da máquina de Carnot entre as mesmas temperaturas ( \approx86{,}40\%). Isso está de acordo com o segundo princípio da termodinâmica: nenhuma máquina real (ou qualquer ciclo cíclico irreversível) pode superar o rendimento de um reversível de Carnot operando entre as mesmas temperaturas; aqui o ciclo dado, embora composto por transformações reversíveis, não é um ciclo de Carnot (pois inclui isocóricos e isobáricos além das isotérmicas/adiabáticas) e, portanto, seu rendimento caiu bem abaixo do ideal de Carnot.

Resposta

e) \eta \approx 0{,}4168 \approx 41{,}68\%
f) \eta_{\text{Carnot}} \approx 0{,}8640 \approx 86{,}40\%; o rendimento do ciclo real é significativamente menor que o rendimento de Carnot entre as mesmas temperaturas.

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