Obs. Um processo ou sistema adiabático é aquele que ocorre sem troca de calor entre um sistema e o ambiente exterior. A palavra deriva do grego adiábatos, que significa “impenetráve!”. Como nenhuma energia térmica entra ou sai, a mudança de temperatura acontece puramente devido à variaçåo de pressão, volume ou trabalho.
Q. 1 Uma máquina térmica utiliza 1 mol de um gás ideal monoatômico e opera segundo o ciclo termodinâmico
, composto por cinco transformações reversiveis descritas a seguir.
Processo
(expansão isotérmica): O gás expande-se reversivelmente à temperatura constante de 600 K , enquanto seu volume varia de 10 L para 20 L .
Processo
(expansão adiabática): A partir do estado B , o gás continua se expandindo reversivelmente sem troca de calor com o meio externo até atingir a temperatura de 400 K .
Processo
(resfriamento isocórico): Mantendo o volume constante, o gás é resfriado até a temperatura de 300 K .
Processo
(compressão isobárica): O gás é comprimido a pressão constante até retornar ao volume inicial do ciclo, igual a 10 L .
Processo
(aquecimento isocórico): Mantendo o volume constante, o gás é aquecido até retornar ao estado inicial
, completando o ciclo. Considere os seguintes dados: Constante universal dos gases:
, e para o gás ideal monoatômico:
, e
.
Determine:
e) (0,2 ponto)
f) ( 0,3 ponto) O rendimento de uma máquina de Carnot operando entre as temperaturas máxima e minima do ciclo. Compare esse valor com o rendimento calculado no item anterior.
Processo
Processo
Processo
Processo
Processo
Determine:
f) ( 0,3 ponto) O rendimento de uma máquina de Carnot operando entre as temperaturas máxima e minima do ciclo. Compare esse valor com o rendimento calculado no item anterior.
Passo 1
O enunciado dá um ciclo com
mol de gás ideal monoatômico e as cinco transformações abaixo (observe que converti volumes de L para m
usando
):
- Processo
: expansão isotérmica a , de para . - Processo
: expansão adiabática reversível até . - Processo
: resfriamento isocórico (volume constante) até . - Processo
: compressão isobárica até o volume voltar ao inicial . - Processo
: aquecimento isocórico até retornar a .
Dados numéricos e parâmetros do gás:
-
. - Para gás monoatômico:
, . -
.
O que o enunciado pede nos itens (e) e (f):
- (e) calcular o rendimento (eficiência) da máquina térmica que executa o ciclo dado.
- (f) calcular o rendimento de uma máquina de Carnot entre as temperaturas máxima e mínima do ciclo e comparar com o rendimento do item (e).
Passo 2
Primeiro vamos determinar os estados intermediários (pressões, volumes e temperaturas) necessários para calcular calores e trabalhos. Usaremos a equação dos gases ideais e a relação adiabática reversível para gás ideal.
Fórmulas básicas que vamos usar (explicação rápida):
- Eq. dos gases ideais:
. Aqui é pressão, volume, temperatura absoluta, número de mols e constante dos gases. - Para uma expansão adiabática reversível de gás ideal com
vale . Isso vem de combinar constante com .
Já sabemos
,
,
,
,
,
.
Cálculo do volume em
(adiabático
). Usando
, isolamos
:
Com
e
. Então
Calculemos numericamente:
Pressões em A, B, C e D pela lei dos gases ideais:
No estado
(mesmo volume de
,
e
):
Na compressão isobárica
a pressão é
(constante) e o volume final é
. Então a temperatura em
é
Resumo dos estados (valores que usarei nos cálculos):
-
. -
. -
. -
. -
.
Passo 3
Agora calculamos o calor trocado
e o trabalho
em cada processo. Relembre (sinteticamente):
- Para processo isotérmico reversível de gás ideal a
constante:
- Para adiabático reversível:
e (ou ), com . - Para isocórico:
e . - Para isobárico:
(trabalho realizado pelo gás) e .
Vamos aplicar para cada trecho (com
).
- Trecho
(isotérmico a ):
Numérico:
- Trecho
(adiabático reversível):
Como
, o trabalho realizado pelo gás neste trecho é
- Trecho
(isocórico, constante):
Ou seja, calor retirado do gás:
.
- Trecho
(isobárico, pressão , compressão de para ):
- Trabalho realizado pelo gás:
Numérico:
(negativo porque foi compressão — trabalho realizado sobre o gás).
- Calor trocado:
- Trecho
(isocórico, aquecimento de até ):
Verificação energética (fechamento do ciclo): somando todos os
obtém-se o calor líquido recebido pelo ciclo; pela 1ª lei do ciclo fechado
.
Somatório dos calores (entradas positivas, saídas negativas):
Logo o trabalho líquido realizado pelo gás no ciclo é
Para o rendimento da máquina térmica precisamos do calor total absorvido (somente as entradas de calor): identificamos entradas positivas em
e
:
Passo 4
Cálculo do rendimento (eficiência) da máquina térmica do ciclo:
Definição: o rendimento
é a razão entre o trabalho líquido extraído e o calor absorvido:
Substituindo os valores obtidos:
Explicando em palavras: de cada
de calor absorvidos pela máquina, cerca de
são convertidos em trabalho útil; o restante é rejeitado ao ambiente durante os passos de resfriamento/compressão.
Passo 5
Agora o item (f): rendimento de uma máquina de Carnot operando entre as temperaturas máxima e mínima do ciclo e comparação.
- Temperatura máxima do ciclo:
. - Temperatura mínima do ciclo: o estado mais frio é
.
Rendimento da máquina de Carnot entre
e
:
Numérico:
Comparação: o rendimento real do ciclo (
) é bem menor que o rendimento da máquina de Carnot entre as mesmas temperaturas (
). Isso está de acordo com o segundo princípio da termodinâmica: nenhuma máquina real (ou qualquer ciclo cíclico irreversível) pode superar o rendimento de um reversível de Carnot operando entre as mesmas temperaturas; aqui o ciclo dado, embora composto por transformações reversíveis, não é um ciclo de Carnot (pois inclui isocóricos e isobáricos além das isotérmicas/adiabáticas) e, portanto, seu rendimento caiu bem abaixo do ideal de Carnot.
Resposta
e)
f) ; o rendimento do ciclo real é significativamente menor que o rendimento de Carnot entre as mesmas temperaturas.
f)