Suponha que todas as retas normais de uma curva diferenciável passem por um único ponto fixo. Mostre que o traço de da curva etá contido em um círculo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou chamar o ponto fixo de \mathbf{c} e parametrizar a curva por \mathbf{r}(t)):
  • Há uma curva diferenciável cujo traço é \{\mathbf{r}(t): t\in I\}, onde I é um intervalo.
  • Para todo ponto da curva em que a normal está bem definida, a reta normal passa por um mesmo ponto fixo \mathbf{c}.
O que se pede:
  • Mostrar que o traço da curva está contido em um círculo (ou seja: existe um centro \mathbf{c} e um raio R tais que \|\mathbf{r}(t)-\mathbf{c}\|=R para todo t do domínio apropriado).
Informações relevantes que usarei:
  • A reta normal em um ponto \mathbf{r}(t) tem direção perpendicular ao vetor tangente \mathbf{r}'(t).
  • Produto escalar: dois vetores são perpendiculares se, e só se, o seu produto escalar é zero.
  • Derivada da norma quadrada: se \varphi(t)=\|\mathbf{u}(t)\|^2=\mathbf{u}(t)\cdot\mathbf{u}(t), então \varphi'(t)=2\,\mathbf{u}(t)\cdot\mathbf{u}'(t).

Passo 2

Primeiro, interpretemos a condição geométrica em termos algébricos. Em um ponto onde a normal está bem definida supomos que a curva é regular ali, isto é, \mathbf{r}'(t)\neq\mathbf{0}. A reta normal passando por \mathbf{r}(t) e por \mathbf{c} significa que o vetor que vai de \mathbf{r}(t) até \mathbf{c}, isto é \mathbf{c}-\mathbf{r}(t), é paralelo à direção normal. Como a direção normal é perpendicular à direção tangente, concluímos que
(\mathbf{c}-\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)=0
para todo t em que a normal esteja definida. Aqui \cdot é o produto escalar em \mathbb{R}^2 (ou \mathbb{R}^n se o problema for nesse contexto).
Explicando devagar: a igualdade acima traduz a frase “o vetor de \mathbf{r}(t) até \mathbf{c} é perpendicular ao vetor tangente \mathbf{r}'(t)”.

Passo 3

Considere a função escalar
\varphi(t)=\|\mathbf{r}(t)-\mathbf{c}\|^2=(\mathbf{r}(t)-\mathbf{c})\cdot(\mathbf{r}(t)-\mathbf{c}).
Esta função mede o quadrado da distância de \mathbf{r}(t) até o ponto fixo \mathbf{c}. Vou calcular a derivada de \varphi em t. Usando a regra da cadeia e a linearidade do produto escalar:
\varphi'(t)=2\,(\mathbf{r}(t)-\mathbf{c})\cdot \mathbf{r}'(t).
Aqui expliquei cada parte: ao derivar (\mathbf{r}-\mathbf{c})\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{c}) aparece 2(\mathbf{r}-\mathbf{c})\cdot(\mathbf{r}') porque \mathbf{c} é constante e pela linearidade do produto escalar.

Passo 4

Agora uso a condição do Passo 2. Como (\mathbf{c}-\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)=0, e o produto escalar é simétrico, temos também (\mathbf{r}(t)-\mathbf{c})\cdot \mathbf{r}'(t)=0. Substituindo na expressão de \varphi'(t):
\varphi'(t)=2\,(\mathbf{r}(t)-\mathbf{c})\cdot \mathbf{r}'(t)=2\cdot 0=0.
Portanto \varphi'(t)=0 para todo t (no domínio onde a normal está definida). Como a derivada é zero, \varphi é constante naquele intervalo; existe R^2\ge 0 tal que
\|\mathbf{r}(t)-\mathbf{c}\|^2=R^2
para todo t.

Passo 5

Da igualdade acima segue que \|\mathbf{r}(t)-\mathbf{c}\|=R para todo t. Isso quer dizer exatamente que todos os pontos \mathbf{r}(t) estão à mesma distância R do ponto \mathbf{c}. Geometricamente, o conjunto desses pontos está contido no círculo (em \mathbb{R}^2) de centro \mathbf{c} e raio R.
Observação sobre regularidade: se a curva tem pontos isolados em que \mathbf{r}'(t)=\mathbf{0} (normais não definidas), pode-se aplicar o argumento aos intervalos onde a curva é regular; por continuidade da função distância, os pontos isolados também ficam na mesma circunferência se a hipótese “todas as normais passam por \mathbf{c}” for entendida de forma natural. Em exercícios padrão assume-se curva diferenciável regular para evitar essa sutilidade.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar a intuição: para uma circunferência centrada em \mathbf{c} de raio R com parametrização \mathbf{r}(t)=\mathbf{c}+R(\cos t,\sin t), o vetor tangente é \mathbf{r}'(t)=R(-\sin t,\cos t) e o vetor \mathbf{c}-\mathbf{r}(t)=-R(\cos t,\sin t) é paralelo ao raio, ou seja, perpendicular ao tangente — assim as normais concorrem em \mathbf{c}. O argumento que fiz é a recíproca dessa observação: se todas as normais concorrem em \mathbf{c}, a curva está sobre uma circunferência centrada em \mathbf{c}.

Resposta

O traço da curva está contido no círculo de centro \mathbf{c} e raio R, onde R=\|\mathbf{r}(t_0)-\mathbf{c}\| para qualquer t_0 do domínio (constante).

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