Suponha que todas as retas normais de uma curva diferenciável passem por um único ponto fixo. Mostre que o traço de da curva etá contido em um círculo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou chamar o ponto fixo de
e parametrizar a curva por
):
- Há uma curva diferenciável cujo traço é
, onde é um intervalo. - Para todo ponto da curva em que a normal está bem definida, a reta normal passa por um mesmo ponto fixo
.
O que se pede:
- Mostrar que o traço da curva está contido em um círculo (ou seja: existe um centro
e um raio tais que para todo do domínio apropriado).
Informações relevantes que usarei:
- A reta normal em um ponto
tem direção perpendicular ao vetor tangente . - Produto escalar: dois vetores são perpendiculares se, e só se, o seu produto escalar é zero.
- Derivada da norma quadrada: se
, então .
Passo 2
Primeiro, interpretemos a condição geométrica em termos algébricos. Em um ponto onde a normal está bem definida supomos que a curva é regular ali, isto é,
. A reta normal passando por
e por
significa que o vetor que vai de
até
, isto é
, é paralelo à direção normal. Como a direção normal é perpendicular à direção tangente, concluímos que
para todo
em que a normal esteja definida. Aqui
é o produto escalar em
(ou
se o problema for nesse contexto).
Explicando devagar: a igualdade acima traduz a frase “o vetor de
até
é perpendicular ao vetor tangente
”.
Passo 3
Considere a função escalar
Esta função mede o quadrado da distância de
até o ponto fixo
. Vou calcular a derivada de
em
. Usando a regra da cadeia e a linearidade do produto escalar:
Aqui expliquei cada parte: ao derivar
aparece
porque
é constante e pela linearidade do produto escalar.
Passo 4
Agora uso a condição do Passo 2. Como
, e o produto escalar é simétrico, temos também
. Substituindo na expressão de
:
Portanto
para todo
(no domínio onde a normal está definida). Como a derivada é zero,
é constante naquele intervalo; existe
tal que
para todo
.
Passo 5
Da igualdade acima segue que
para todo
. Isso quer dizer exatamente que todos os pontos
estão à mesma distância
do ponto
. Geometricamente, o conjunto desses pontos está contido no círculo (em
) de centro
e raio
.
Observação sobre regularidade: se a curva tem pontos isolados em que
(normais não definidas), pode-se aplicar o argumento aos intervalos onde a curva é regular; por continuidade da função distância, os pontos isolados também ficam na mesma circunferência se a hipótese “todas as normais passam por
” for entendida de forma natural. Em exercícios padrão assume-se curva diferenciável regular para evitar essa sutilidade.
Passo 6
Exemplo rápido para fixar a intuição: para uma circunferência centrada em
de raio
com parametrização
, o vetor tangente é
e o vetor
é paralelo ao raio, ou seja, perpendicular ao tangente — assim as normais concorrem em
. O argumento que fiz é a recíproca dessa observação: se todas as normais concorrem em
, a curva está sobre uma circunferência centrada em
.
Resposta
O traço da curva está contido no círculo de centro
e raio
, onde
para qualquer
do domínio (constante).