Observação: Deste exercício concluímos que \mathcal{L}\left\{\int_{0}^{t} f(\tau) d \tau\right\}=\frac{F(s)}{s}.
17. Se a função f(t) é tal que f^{\prime}(t) é contínua e de ordem exponencial, mostre que
f(0)=\lim _{s \rightarrow \infty} s F(s) .
Verifique este fato para a função f(t)=\cos a t.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar o chamado teorema do valor inicial da transformada de Laplace, isto é, sob a hipótese de que f'(t) é contínua e de ordem exponencial, mostrar que
f(0)=\lim_{s\to\infty}s\,F(s),
onde
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
Em seguida, verificar esse resultado para f(t)=\cos(at). Para isso, vamos usar a definição de transformada e uma integração por partes.

Passo 2

Partimos de
s\,F(s)=s\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
Fazendo integração por partes com
u=f(t),\quad dv=s\,e^{-st}dt
du=f'(t)dt,\quad v=-e^{-st},
obtemos
s\,F(s)=\Bigl[-f(t)e^{-st}\Bigr]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}e^{-st}f'(t)\,dt.

Passo 3

Analisando o termo de contorno:
  • Para t\to\infty, como f é de ordem exponencial, f(t)e^{-st}\to0 para s grande.
  • Em t=0, temos -f(0)e^{-s\cdot0}=-f(0).
    Logo
\Bigl[-f(t)e^{-st}\Bigr]_{0}^{\infty} =0-(-f(0))=f(0).
Assim
s\,F(s)=f(0)+\int_{0}^{\infty}e^{-st}f'(t)\,dt.
Como f'(t) também é de ordem exponencial, a integral restante tende a zero quando s\to\infty. Portanto
\lim_{s\to\infty}s\,F(s)=f(0).

Passo 4

Para verificar em f(t)=\cos(at), usamos a transformada conhecida
F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(at)\,dt=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Logo
s\,F(s)=\frac{s^{2}}{s^{2}+a^{2}},
e
\lim_{s\to\infty}\frac{s^{2}}{s^{2}+a^{2}}=1.
Como \cos(0)=1, o teorema fica verificado.

Resposta

Para função geral f com f' contínua e de ordem exponencial,
f(0)=\lim_{s\to\infty}s\,F(s).
No caso f(t)=\cos(at),
\lim_{s\to\infty}s\;\frac{s}{s^{2}+a^{2}}=1=\cos(0).

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