Observação: Deste exercício concluímos que
.
17. Se a função
é tal que
é contínua e de ordem exponencial, mostre que
Verifique este fato para a função
.
17. Se a função
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar o chamado teorema do valor inicial da transformada de Laplace, isto é, sob a hipótese de que
é contínua e de ordem exponencial, mostrar que
onde
Em seguida, verificar esse resultado para
. Para isso, vamos usar a definição de transformada e uma integração por partes.
Passo 2
Partimos de
Fazendo integração por partes com
obtemos
Passo 3
Analisando o termo de contorno:
- Para
, como é de ordem exponencial, para grande. - Em
, temos .
Logo
Assim
Como
também é de ordem exponencial, a integral restante tende a zero quando
. Portanto
Passo 4
Para verificar em
, usamos a transformada conhecida
Logo
e
Como
, o teorema fica verificado.
Resposta
Para função geral
com
contínua e de ordem exponencial,
No caso
,