Observação: Deste exercício concluímos que \mathcal{L}\left\{\int_{0}^{t} f(\tau) d \tau\right\}=\frac{F(s)}{s}.
17. Se a função f(t) é tal que f^{\prime}(t) é contínua e de ordem exponencial, mostre que
f(0)=\lim _{s \rightarrow \infty} s F(s) .
Verifique este fato para a função f(t)=\cos a t.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f'(t) é contínua e de ordem exponencial, então
f(0)=\lim_{s\to\infty}s\,F(s),
onde
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
Em seguida, devemos verificar este resultado para f(t)=\cos(at).

Passo 2

Começamos pela transformada de f'(t):
\mathcal{L}\{f'(t)\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-st}f'(t)\,dt.
Aplicando integração por partes, com u=f'(t) e dv=e^{-st}dt, obtemos
\int_{0}^{\infty}e^{-st}f'(t)\,dt =\bigl[f(t)e^{-st}\bigr]_{0}^{\infty} +s\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
Como f'(t) é de ordem exponencial, existe a tal que |f(t)|\le M e^{at}, e para s>a vale
\lim_{t\to\infty}f(t)e^{-st}=0.
Logo
\mathcal{L}\{f'(t)\}(s) =-f(0)+s\,F(s),
ou seja
s\,F(s)-f(0) =\mathcal{L}\{f'(t)\}(s).
Por outro lado, usando \bigl|\mathcal{L}\{f'(t)\}(s)\bigr|\le \tfrac{M'}{s-a}, segue que
\lim_{s\to\infty}\mathcal{L}\{f'(t)\}(s)=0.
Tomando s\to\infty em sF(s)-f(0)=\mathcal{L}\{f'\}(s)
\lim_{s\to\infty}s\,F(s)-f(0)=0 \quad\Longrightarrow\quad f(0)=\lim_{s\to\infty}s\,F(s).

Passo 3

Para verificar com f(t)=\cos(at), lembramos que
\mathcal{L}\{\cos(at)\}(s) =\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Então
s\,F(s) =s\cdot\frac{s}{s^{2}+a^{2}} =\frac{s^{2}}{s^{2}+a^{2}},
e, tomando o limite
\lim_{s\to\infty}s\,F(s) =\lim_{s\to\infty}\frac{s^{2}}{s^{2}+a^{2}} =1 =\cos(0).
Portanto, o teorema vale nesse caso.

Resposta

Mostramos que
f(0)=\lim_{s\to\infty}s\,F(s)
e, para f(t)=\cos(at), obtivemos \lim_{s\to\infty}s\,F(s)=1=\cos(0).

Exercícios relacionados