Sabemos que
\mathcal{L}\left\{f^{\prime}(t)\right\}(s)=s F(s)-f(0) \Rightarrow f(0)+\mathcal{L}\left\{f^{\prime}(t)\right\}(s)=s F(s)
Aplicando o limite e usando que f^{\prime}(t) é de ordem exponencial, vem
\lim _{s \rightarrow \infty}\left(f(0)+\mathcal{L}\left\{f^{\prime}(t)\right\}(s)\right)=\lim _{s \rightarrow \infty} s F(s) \Rightarrow f(0)=\lim _{s \rightarrow \infty} s F(s)

Passo 1

O enunciado trata do Teorema do Valor Inicial na Transformada de Laplace. Temos uma função f(t) de ordem exponencial e sua transformada F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s). Queremos mostrar que
f(0)=\lim_{s\to\infty}s\,F(s).

Passo 2

Partimos da propriedade da transformada de Laplace da derivada,
\mathcal{L}\{f'(t)\}(s)=s\,F(s)-f(0).
Reescrevendo,
f(0)+\mathcal{L}\{f'(t)\}(s)=s\,F(s).

Passo 3

Como f'(t) é de ordem exponencial, sua transformada existe e satisfaz
\lim_{s\to\infty}\mathcal{L}\{f'(t)\}(s) =\lim_{s\to\infty}\int_{0}^{\infty}f'(t)e^{-st}\,dt =0,
pois para s grande o fator e^{-st} anula toda contribuição no integral. Tomando limite em ambos os lados da identidade do Passo 2,
\lim_{s\to\infty}\bigl(f(0)+\mathcal{L}\{f'(t)\}(s)\bigr) =\lim_{s\to\infty}s\,F(s),
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f(0)=\lim_{s\to\infty}s\,F(s).

Resposta

f(0)=\lim_{s\to\infty}s\,F(s).

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