Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial.
y^{(4)}-4 y=0 ; \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=2, \quad y^{\prime \prime \prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y^{(4)} - 4\,y = 0,
com condições
y(0)=1,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=2,\quad y'''(0)=0.
O conteúdo aqui é resolver uma EDO linear de ordem quatro usando transformada de Laplace.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de
y^{(4)} - 4\,y = 0.
Como \mathcal L\{y\}=Y(s), temos
\mathcal L\{y^{(4)}\} = s^4\,Y(s) - s^3\,y(0) - s^2\,y'(0) - s\,y''(0) - y'''(0),
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s^4\,Y(s) - s^3\cdot 1 - s^2\cdot 0 - s\cdot 2 - 0 \;-\; 4\,Y(s) \;=\; 0.

Passo 3

Reunindo termos em Y(s) obtemos
(s^4 - 4)\,Y(s) \;=\; s^3 + 2\,s \quad\Longrightarrow\quad Y(s) \;=\; \frac{s^3 + 2\,s}{s^4 - 4}.

Passo 4

Fatorando o denominador como (s^2-2)(s^2+2) e notando que o numerador é s(s^2+2), simplificamos:
Y(s) = \frac{s(s^2+2)}{(s^2-2)(s^2+2)} = \frac{s}{s^2 - 2}.

Passo 5

Reconhecemos que
\mathcal L\{\operatorname{cosh}(a t)\} = \frac{s}{s^2 - a^2}.
Aqui a=\sqrt{2}, logo a transformada inversa é
y(t) = \operatorname{cosh}\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr).

Resposta

y(t) = \operatorname{cosh}\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr).

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