Observação: A nota será composta pelo somatório das cinco melhores notas dentre as seis questões da avaliação.
Resolva a equação homogênea de segunda ordem:
y^prime prime-2 y^prime-15 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver essa equação diferencial homogênea de segunda ordem:
y'' - 2y' - 15y = 0
Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada a essa equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma:
y'' + a y' + b y = 0
A equação característica é:
r^2 + a r + b = 0
No nosso caso, a equação dada é:
y'' - 2y' - 15y = 0
Portanto, os coeficientes são $ a = -2 $ e $ b = -15 $. Assim, a equação característica fica:
a = -2

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes $ r $. A fórmula de Bhaskara para resolver $ ar^2 + br + c = 0 $ é:
r
Aplicando os valores da nossa equação $ r^2 - 2r - 15 = 0 $:
  • $ a = 1 $
  • $ b = -2 $
  • $ c = -15 $
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
ar^2 + br + c = 0
Como $ \Delta = 64 $ é positivo, temos duas raízes reais e distintas:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Portanto:
r^2 - 2r - 15 = 0

Passo 4

Com as raízes $ r_1 = 5 $ e $ r_2 = -3 $, a solução geral da equação diferencial homogênea é dada por:
r1 = 5
Substituindo os valores das raízes:
r2 = -3
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^5x + C2 e^-3x

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