Observação: A nota será composta pelo somatório das cinco melhores notas dentre as seis questões da avaliação.
Resolva a equação homogênea de segunda ordem:
Resolva a equação homogênea de segunda ordem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver essa equação diferencial homogênea de segunda ordem:
Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada a essa equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma:
A equação característica é:
No nosso caso, a equação dada é:
Portanto, os coeficientes são $ a = -2 $ e $ b = -15 $. Assim, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes $ r $. A fórmula de Bhaskara para resolver $ ar^2 + br + c = 0 $ é:
Aplicando os valores da nossa equação $ r^2 - 2r - 15 = 0 $:
- $ a = 1 $
- $ b = -2 $
- $ c = -15 $
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Como $ \Delta = 64 $ é positivo, temos duas raízes reais e distintas:
Portanto:
Passo 4
Com as raízes $ r_1 = 5 $ e $ r_2 = -3 $, a solução geral da equação diferencial homogênea é dada por:
Substituindo os valores das raízes:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: