Mostrar que:

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a identidade trigonométrica 1 + tan^2alpha = sec^2alpha é verdadeira. Estamos no tópico de identidades trigonométricas e vamos usar a identidade fundamental do círculo trigonométrico para provar esta relação.

Passo 2

A identidade fundamental da trigonometria é:
sin^2alpha + cos^2alpha = 1
Ela expressa a relação entre seno e cosseno de qualquer ângulo alpha.

Passo 3

Agora, para obter uma expressão envolvendo tanalpha e secalpha, dividimos toda a identidade fundamental por cos^2alpha. Assim, fazemos:
sin^2alphacos^2alpha + cos^2alphacos^2alpha = 1cos^2alpha
Isso é válido desde que cosalpha neq 0.

Passo 4

Finalmente, reconhecemos que tanalpha = sinalphacosalpha e secalpha = 1cosalpha. Logo:
sin^2alphacos^2alpha = tan^2alpha
1cos^2alpha = sec^2alpha
Substituindo na expressão obtida, temos:
tan^2alpha + 1 = sec^2alpha
que é exatamente o que queríamos mostrar.

Resposta

Foi demonstrado que
1 + tan^2alpha = sec^2alpha
utilizando a identidade fundamental da trigonometria e as definições de tanalpha e secalpha.

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