Observação: A nota será composta pelo somatório das cinco melhores notas dentre as seis questões da avaliação.
Determine o Wronskiano das soluções da equação diferencial:
Determine o Wronskiano das soluções da equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o Wronskiano das soluções da equação diferencial $ y’’ - 6y’ + 34y = 0 $. Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem e Wronskian. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o Wronskiano a partir das soluções da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ - 6y’ + 34y = 0 $. Para isso, encontramos a equação característica associada, que é $ r^2 - 6r + 34 = 0 $.
Passo 3
Resolvendo a equação característica $ r^2 - 6r + 34 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas: $ r = 3 \pm 5i $.
Passo 4
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes arbitrárias.
Passo 5
Vamos identificar duas soluções lineares independentes:
Passo 6
Agora, para encontrar o Wronskiano $ W(y_1, y_2) $, usamos a definição:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Passo 7
Substituindo na fórmula do Wronskiano:
Passo 8
Simplificando dentro dos colchetes:
Somando tudo:
Passo 9
Portanto, o Wronskiano fica:
Resposta
O Wronskiano das soluções da equação diferencial é $ W = 5e^{6x} $.