Observação: A nota será composta pelo somatório das cinco melhores notas dentre as seis questões da avaliação.
Determine o Wronskiano das soluções da equação diferencial:
y^prime prime-6 y^prime+34 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o Wronskiano das soluções da equação diferencial $ y’’ - 6y’ + 34y = 0 $. Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem e Wronskian. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o Wronskiano a partir das soluções da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ - 6y’ + 34y = 0 $. Para isso, encontramos a equação característica associada, que é $ r^2 - 6r + 34 = 0 $.

Passo 3

Resolvendo a equação característica $ r^2 - 6r + 34 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 - 6r + 34 = 0
Então, as raízes são complexas: $ r = 3 \pm 5i $.

Passo 4

Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é:
y(x) = e^3x ( A cos(5x) + B sin(5x) )
Onde $ A $ e $ B $ são constantes arbitrárias.

Passo 5

Vamos identificar duas soluções lineares independentes:
y1(x) = e^3x cos(5x)
y2(x) = e^3x sin(5x)

Passo 6

Agora, para encontrar o Wronskiano $ W(y_1, y_2) $, usamos a definição:
W(y1, y2)
Primeiro, calculamos as derivadas:
W(y1, y2) = y1 y2' - y2 y1'
y1'(x) = e^3x(3 cos(5x) - 5 sin(5x))

Passo 7

Substituindo na fórmula do Wronskiano:
W = e^3x cos(5x) cdot e^3x(3 sin(5x) + 5 cos(5x)) - e^3x sin(5x) cdot e^3x(3 cos(5x) - 5 sin(5x))
W = e^6x [ cos(5x)(3 sin(5x) + 5 cos(5x)) - sin(5x)(3 cos(5x) - 5 sin(5x)) ]

Passo 8

Simplificando dentro dos colchetes:
cos(5x)(3 sin(5x) + 5 cos(5x)) = 3 cos(5x)sin(5x) + 5 cos^2(5x)
- sin(5x)(3 cos(5x) - 5 sin(5x)) = -3 sin(5x)cos(5x) + 5 sin^2(5x)
Somando tudo:
3 cos(5x)sin(5x) + 5 cos^2(5x) - 3 sin(5x)cos(5x) + 5 sin^2(5x) = 5(cos^2(5x) + sin^2(5x)) = 5

Passo 9

Portanto, o Wronskiano fica:
W = e^6x cdot 5 = 5e^6x

Resposta

O Wronskiano das soluções da equação diferencial é $ W = 5e^{6x} $.

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