Observação: Resolva de forma elegante as questões.
02. Achar o trabalho feito quando se move um objeto, ao longo de uma reta, do ponto (3,2,-1) ao ponto (2,-1,4) num campo de força dado por \mathbf{F}=4 \mathrm{i}-3 \mathrm{j}+2 \mathrm{k}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que está no problema):
  • Ponto inicial \mathbf{r}_A = (3,2,-1).
  • Ponto final \mathbf{r}_B = (2,-1,4).
  • Campo de força constante \mathbf{F} = 4\,\mathrm{i} -3\,\mathrm{j} + 2\,\mathrm{k}.
O que é pedido: calcular o trabalho realizado ao mover o objeto ao longo da reta que liga \mathbf{r}_A a \mathbf{r}_B.

Passo 2

Definição e ideia principal (a parte teórica que precisa saber):
  • O trabalho realizado por um campo de força \mathbf{F} ao longo de uma curva C é dado por
W=\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
  • Aqui \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} é o produto escalar (dot product) entre o vetor força e o vetor deslocamento infinitesimal. Para vetores em coordenadas,
\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z),\qquad \mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z),
o produto escalar é
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
  • No caso de \mathbf{F} constante e da curva sendo a reta de \mathbf{r}_A até \mathbf{r}_B, há uma simplificação muito útil: o trabalho é simplesmente o produto escalar entre \mathbf{F} e o deslocamento total \mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A. Vou mostrar isso de forma explícita nos próximos passos.

Passo 3

Parametrização da reta e cálculo do deslocamento:
  • A reta que vai de \mathbf{r}_A até \mathbf{r}_B pode ser parametrizada por
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_A + t(\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A),\qquad 0\le t\le 1.
  • O vetor deslocamento total é
\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A = (2-3,\,-1-2,\;4-(-1)) = (-1,\,-3,\;5).
  • A derivada é constante:
\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A = (-1,-3,5).

Passo 4

Avaliar a integral do trabalho diretamente:
  • Como \mathbf{F} é constante, \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\mathbf{F}=(4,-3,2) para todo t. Então o integrando \mathbf{F}\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt} é constante:
\mathbf{F}\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt} = (4,-3,2)\cdot(-1,-3,5).
  • Calcular o produto escalar passo a passo:
4\cdot(-1) + (-3)\cdot(-3) + 2\cdot 5 = -4 + 9 + 10 = 15.
  • Assim a integral fica
W=\int_{0}^{1} 15\,dt = 15\cdot(1-0)=15.

Passo 5

Comentário rápido e dica de prova (método mais curto):
  • Em problemas de reta com \mathbf{F} constante, é muito rápido usar a fórmula curta
W=\mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A).
  • Substituindo os vetores obtém-se o mesmo cálculo:
W=(4,-3,2)\cdot(-1,-3,5)=15.
  • Dica prática: memorize essa simplificação — ela salva tempo e erro de contas na prova.

Resposta

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