Um espelho côncavo é usado para projetar a imagem de uma lâmpada sobre uma parede, de modo que a imagem seja 3,5 vezes maior que o objeto. Qual deve ser a distância entre o espelho e a parede? Qual deve ser seu raio de curvatura?

Passo 1

O enunciado diz que um espelho côncavo projeta a imagem de uma lâmpada sobre uma parede de modo que a imagem é 3{,}5 vezes maior que o objeto. Pede-se:
  • a distância entre o espelho e a parede (isto é, a distância do espelho até a imagem);
  • o raio de curvatura do espelho.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
  • razão de ampliação linear: a imagem tem fator de escala 3{,}5 em relação ao objeto.
Vou usar as seguintes notações:
  • d_o = distância do objeto (lâmpada) ao espelho (distância objeto-espelho);
  • d_i = distância da imagem (parede) ao espelho (distância espelho-parede que se pede);
  • f = distância focal do espelho;
  • R = raio de curvatura do espelho.

Passo 2

Conceito e fórmula da ampliação (explicação didática):
  • A ampliação linear m de um espelho relaciona as alturas ou as distâncias objetais e imagéticas. Ela é definida por
m=\frac{h_i}{h_o},
onde h_o é a altura do objeto e h_i a altura da imagem.
  • Para espelhos esféricos, existe a relação entre m e as distâncias:
m=-\frac{d_i}{d_o}.
Explicação do sinal: o menos aparece porque uma imagem real formada por um espelho côncavo fica invertida em relação ao objeto; portanto h_i tem sinal oposto a h_o. Aqui interessa sobretudo o módulo (tamanho): |m|=\dfrac{d_i}{d_o}.
Como a imagem é 3{,}5 vezes maior que o objeto, tem-se |m|=3{,}5. Como a imagem real por espelho côncavo é invertida, tomamos
m=-3{,}5.
Da relação de ampliação obtemos passo a passo:
-3{,}5 = -\frac{d_i}{d_o}\quad\Rightarrow\quad d_i=3{,}5\,d_o.

Passo 3

Fórmula do espelho esférico (explicação didática):
  • A equação de Gauss para espelhos esféricos relaciona distância focal, distância do objeto e distância da imagem:
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}.
Aqui f é a distância focal (positiva para espelho côncavo), d_o é a distância do objeto (positiva se o objeto estiver na frente do espelho) e d_i é a distância da imagem (positiva para imagem real na frente do espelho). Essas convenções são as usuais em óptica geométrica.

Passo 4

Substituição e resolução para a distância focal f:
  • Substitui-se d_i=3{,}5\,d_o na equação do espelho:
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{3{,}5\,d_o}=\frac{1}{d_o}\Big(1+\frac{1}{3{,}5}\Big).
  • Calcule a soma dentro do parêntese com frações:
1+\frac{1}{3{,}5}=1+\frac{2}{7}=\frac{7}{7}+\frac{2}{7}=\frac{9}{7}.
  • Logo
\frac{1}{f}=\frac{9}{7}\cdot\frac{1}{d_o}\quad\Rightarrow\quad f=\frac{7}{9}\,d_o.
Explicação: isso dá a distância focal necessária em função da posição da lâmpada.

Passo 5

Cálculo do raio de curvatura R e expressão alternativa para d_i:
  • Para um espelho esférico vale R=2f. Substituindo f obtém-se
R=2f=2\cdot\frac{7}{9}\,d_o=\frac{14}{9}\,d_o.
  • Também podemos expressar d_i em função de f ou de R. Usando d_i=3{,}5\,d_o e f=\dfrac{7}{9}d_o, eliminando d_o obtemos fórmulas úteis:
f=\frac{2}{9}\,d_i,\qquad R=\frac{4}{9}\,d_i.
Isto significa, por exemplo, que a distância espelho–parede d_i é \dfrac{9}{4}=2{,}25 vezes o raio de curvatura:
d_i=\frac{9}{4}\,R.

Passo 6

Interpretação prática e exemplo numérico (para visualização e confiança):
  • As respostas ficaram em termos de d_o porque o enunciado não dá a posição numérica da lâmpada em relação ao espelho. Assim:
    • a distância espelho–parede (imagem) é d_i=3{,}5\,d_o;
    • o raio é R=\dfrac{14}{9}\,d_o.
  • Exemplo numérico: se a lâmpada estiver a d_o=0{,}40\\ \text{m} do espelho, então d_i=3{,}5\cdot0{,}40=1{,}40\\ \text{m}, \qquad R=\frac{14}{9}\cdot0{,}40\approx0{,}622\\ \text{m}.
Isto é só um exemplo para ver números concretos; qualquer valor de d_o dá as distâncias correspondentes pelas fórmulas acima.

Resposta

Distância espelho–parede: d_i=3{,}5\,d_o.
Raio de curvatura: R=\dfrac{14}{9}\,d_o.

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