Um espelho côncavo é usado para projetar a imagem de uma lâmpada sobre uma parede, de modo que a imagem seja 3,5 vezes maior que o objeto. Qual deve ser a distância entre o espelho e a parede? Qual deve ser seu raio de curvatura?
Passo 1
O enunciado diz que um espelho côncavo projeta a imagem de uma lâmpada sobre uma parede de modo que a imagem é
vezes maior que o objeto. Pede-se:
- a distância entre o espelho e a parede (isto é, a distância do espelho até a imagem);
- o raio de curvatura do espelho.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
- razão de ampliação linear: a imagem tem fator de escala
em relação ao objeto.
Vou usar as seguintes notações:
-
= distância do objeto (lâmpada) ao espelho (distância objeto-espelho); -
= distância da imagem (parede) ao espelho (distância espelho-parede que se pede); -
= distância focal do espelho; -
= raio de curvatura do espelho.
Passo 2
Conceito e fórmula da ampliação (explicação didática):
- A ampliação linear
de um espelho relaciona as alturas ou as distâncias objetais e imagéticas. Ela é definida por
onde
é a altura do objeto e
a altura da imagem.
- Para espelhos esféricos, existe a relação entre
e as distâncias:
Explicação do sinal: o menos aparece porque uma imagem real formada por um espelho côncavo fica invertida em relação ao objeto; portanto
tem sinal oposto a
. Aqui interessa sobretudo o módulo (tamanho):
.
Como a imagem é
vezes maior que o objeto, tem-se
. Como a imagem real por espelho côncavo é invertida, tomamos
Da relação de ampliação obtemos passo a passo:
Passo 3
Fórmula do espelho esférico (explicação didática):
- A equação de Gauss para espelhos esféricos relaciona distância focal, distância do objeto e distância da imagem:
Aqui
é a distância focal (positiva para espelho côncavo),
é a distância do objeto (positiva se o objeto estiver na frente do espelho) e
é a distância da imagem (positiva para imagem real na frente do espelho). Essas convenções são as usuais em óptica geométrica.
Passo 4
Substituição e resolução para a distância focal
:
- Substitui-se
na equação do espelho:
- Calcule a soma dentro do parêntese com frações:
- Logo
Explicação: isso dá a distância focal necessária em função da posição da lâmpada.
Passo 5
Cálculo do raio de curvatura
e expressão alternativa para
:
- Para um espelho esférico vale
. Substituindo obtém-se
- Também podemos expressar
em função de ou de . Usando e , eliminando obtemos fórmulas úteis:
Isto significa, por exemplo, que a distância espelho–parede
é
vezes o raio de curvatura:
Passo 6
Interpretação prática e exemplo numérico (para visualização e confiança):
- As respostas ficaram em termos de
porque o enunciado não dá a posição numérica da lâmpada em relação ao espelho. Assim: - a distância espelho–parede (imagem) é
; - o raio é
.
- a distância espelho–parede (imagem) é
- Exemplo numérico: se a lâmpada estiver a
do espelho, então
Isto é só um exemplo para ver números concretos; qualquer valor de
dá as distâncias correspondentes pelas fórmulas acima.
Resposta
Distância espelho–parede:
Raio de curvatura: