Observação: Resolva de forma elegante as questões.
09. Calcular (2 \mathrm{i}-3 \mathrm{j}) \bullet[(\mathrm{i}+\mathrm{j}-\mathrm{k}) \times(3 \mathrm{i}-\mathrm{k})].

Passo 1

O enunciado dá o produto escalar entre o vetor \;2\mathrm{i}-3\mathrm{j}\; e o produto vetorial entre \;\mathrm{i}+\mathrm{j}-\mathrm{k}\; e \;3\mathrm{i}-\mathrm{k}\;. Ou seja, pede-se calcular
(2\mathrm{i}-3\mathrm{j})\bullet\big[(\mathrm{i}+\mathrm{j}-\mathrm{k})\times(3\mathrm{i}-\mathrm{k})\big].
Informações que temos, escritas como coordenadas:
\vec{A} = 2\mathrm{i}-3\mathrm{j}=\big(2,-3,0\big), \qquad \vec{B} = \mathrm{i}+\mathrm{j}-\mathrm{k}=\big(1,1,-1\big), \qquad \vec{C} = 3\mathrm{i}-\mathrm{k}=\big(3,0,-1\big).
O que se pede: calcular o escalar resultante dessa expressão (um número real).

Passo 2

Breve aula sobre operações que vou usar (sem pular etapas).
  • Produto vetorial: para dois vetores \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a ambos, com componentes dadas pelo determinante:
\vec{u}\times\vec{v}= \begin{vmatrix} \mathrm{i} & \mathrm{j} & \mathrm{k} \\\ u_1 & u_2 & u_3 \\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}.
Na prática faz-se a expansão por co-fatores: a componente em \mathrm{i} é u_2v_3-u_3v_2, em \mathrm{j} é -(u_1v_3-u_3v_1) e em \mathrm{k} é u_1v_2-u_2v_1.
  • Produto escalar: para \vec{p}=(p_1,p_2,p_3) e \vec{q}=(q_1,q_2,q_3),
\vec{p}\bullet\vec{q}=p_1q_1+p_2q_2+p_3q_3,
que resulta em um número real.
Vou aplicar essas definições passo a passo ao problema.

Passo 3

Calcular primeiro o produto vetorial \vec{B}\times\vec{C} usando a fórmula determinantal.
\vec{B}\times\vec{C}= \begin{vmatrix} \mathrm{i} & \mathrm{j} & \mathrm{k} \\\\ 1 & 1 & -1 \\\\ 3 & 0 & -1 \end{vmatrix}.
Expandindo em co-fatores:
  • componente \mathrm{i}: 1\cdot(-1)-(-1)\cdot0 = -1-0 = -1.
  • componente \mathrm{j}: -(1\cdot(-1)-(-1)\cdot3) = -(-1-(-3)) = -( -1+3 ) = -2.
    (detalhe: cuidado com o sinal do termo de \mathrm{j}; a fórmula coloca um sinal negativo).
  • componente \mathrm{k}: 1\cdot0-1\cdot3 = 0-3 = -3.
Portanto
\vec{B}\times\vec{C} = -1\,\mathrm{i} -2\,\mathrm{j} -3\,\mathrm{k} = \big(-1,-2,-3\big).

Passo 4

Agora faço o produto escalar entre \vec{A}=\big(2,-3,0\big) e \vec{B}\times\vec{C}=\big(-1,-2,-3\big). Usando a definição do produto escalar:
\vec{A}\bullet(\vec{B}\times\vec{C}) = 2\cdot(-1) + (-3)\cdot(-2) + 0\cdot(-3).

Passo 5

Calculo cada termo separado (para não errar e para que dê para fazer à mão na prova):
2\cdot(-1) = -2, \qquad (-3)\cdot(-2) = 6, \qquad 0\cdot(-3) = 0.
Somando:
-2 + 6 + 0 = 4.

Passo 6

Interpretação final curta e dica de prova: o valor calculado é o chamado produto misto \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}), que também pode ser calculado como o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as coordenadas de \vec{A},\vec{B},\vec{C}. Aqui esse determinante também daria 4. Na prova, escolher entre calcular o produto vetorial primeiro ou usar o determinante direto é questão de gosto; ambas as rotas são equivalentes.

Resposta

4

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