Observação: Resolva de forma elegante as questões.
09. Calcular (2 \mathrm{i}-3 \mathrm{j}) \bullet[(\mathrm{i}+\mathrm{j}-\mathrm{k}) \times(3 \mathrm{i}-\mathrm{k})].
Passo 1
O enunciado dá o produto escalar entre o vetor \;2\mathrm{i}-3\mathrm{j}\; e o produto vetorial entre \;\mathrm{i}+\mathrm{j}-\mathrm{k}\; e \;3\mathrm{i}-\mathrm{k}\;. Ou seja, pede-se calcular
O que se pede: calcular o escalar resultante dessa expressão (um número real).
Passo 2
Breve aula sobre operações que vou usar (sem pular etapas).
Produto vetorial: para dois vetores \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a ambos, com componentes dadas pelo determinante:
Na prática faz-se a expansão por co-fatores: a componente em \mathrm{i} é u_2v_3-u_3v_2, em \mathrm{j} é -(u_1v_3-u_3v_1) e em \mathrm{k} é u_1v_2-u_2v_1.
Produto escalar: para \vec{p}=(p_1,p_2,p_3) e \vec{q}=(q_1,q_2,q_3),
\vec{p}\bullet\vec{q}=p_1q_1+p_2q_2+p_3q_3,
que resulta em um número real.
Vou aplicar essas definições passo a passo ao problema.
Passo 3
Calcular primeiro o produto vetorial \vec{B}\times\vec{C} usando a fórmula determinantal.
componente \mathrm{j}: -(1\cdot(-1)-(-1)\cdot3) = -(-1-(-3)) = -( -1+3 ) = -2.
(detalhe: cuidado com o sinal do termo de \mathrm{j}; a fórmula coloca um sinal negativo).
Interpretação final curta e dica de prova: o valor calculado é o chamado produto misto \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}), que também pode ser calculado como o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as coordenadas de \vec{A},\vec{B},\vec{C}. Aqui esse determinante também daria 4. Na prova, escolher entre calcular o produto vetorial primeiro ou usar o determinante direto é questão de gosto; ambas as rotas são equivalentes.