Observação: Resolva de forma elegante as questões.
Dado o campo escalar definido por \varphi(x, y, z)=3 x^{2} z-3 x y^{3}+5, achar \varphi nos pontos
(1,-2,2)

Passo 1

O enunciado dá o campo escalar e pede o valor desse campo num ponto específico. Informações fornecidas:
  • A função é \varphi(x,y,z)=3x^{2}z-3xy^{3}+5.
  • O ponto onde queremos avaliar é (1,-2,2), ou seja x=1, y=-2 e z=2.
    O objetivo é calcular numericamente \varphi(1,-2,2).

Passo 2

Plano de ação (breve e direto): para avaliar \varphi num ponto substitui-se x, y e z pelos valores dados e calcula-se termo a termo. Não tem segredo — só atenção aos sinais ao elevar negativos a potências ímpares.

Passo 3

Calcular x^{2} com x=1:
x^{2} = 1^{2} = 1.
Explicação rápida: elevar ao quadrado significa multiplicar por si mesmo uma vez, 1\cdot1=1.

Passo 4

Calcular y^{3} com y=-2:
y^{3}=(-2)^{3}=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2).
Fazendo as multiplicações: (-2)\cdot(-2)=4 e 4\cdot(-2)=-8. Logo
y^{3}=-8.
Observação: potência ímpar preserva o sinal do número base (negativo permanece negativo).

Passo 5

Substituir os valores nos termos da função e calcular cada termo separadamente.
Termo 3x^{2}z:
3x^{2}z = 3\cdot(1)\cdot(2)=3\cdot2=6.
Termo -3x y^{3}:
-3x y^{3} = -3\cdot(1)\cdot(-8) = -3\cdot(-8)=24.
Aqui o produto de dois negativos resultou em positivo.
Termo constante +5 permanece 5.

Passo 6

Somar os três termos para obter \varphi(1,-2,2):
\varphi(1,-2,2)=6+24+5=35.

Resposta

35

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