Observação: A reta normal à curva C em um ponto P é, por definição, a reta que passa por P e é perpendicular à reta tangente a C em P.
Se f(x)=arccos (x-x^33), determine f^prime prime(1 / 2).

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=arccos!l(x-x^33r)
e pede f''(1/2).
O conteúdo principal é derivação de função composta (regra da cadeia) e depois derivada de quociente/potência. Vamos:
  1. Definir u(x)=x-x^33.
  2. Calcular f'(x) por cadeia.
  3. Calcular f''(x) derivando f'(x).
  4. Avaliar em x=tfrac12.

Passo 2

Primeiro aplicamos a regra da cadeia em
f(x)=arccosl(u(x)r)
Sabemos dduarccos(u)=-1raiz1-u^2 e
u'(x)=ddxl(x-tfracx^33r)=1-x^2
Logo
f'(x) =-u'(x)raiz1-u(x)^2 =-1-x^2raiz,1-l(x-tfracx^33r)^2,

Passo 3

Agora derivamos
f'(x) =-(1-x^2)l(1-u^2r)^-tfrac12,
onde u=u(x). Usando produto e potência:
f''(x) = -ddx(1-x^2),(1-u^2)^-tfrac12 ;-;(1-x^2),ddxl[(1-u^2)^-tfrac12r]
Calculando cada parte:
  1. ddx(1-x^2)=-2x, então o primeiro termo vira
-(-2x)(1-u^2)^-tfrac12 =2xraiz1-u^2
  1. Para o segundo termo,
    ddx(1-u^2)^-tfrac12 =-tfrac12(1-u^2)^-tfrac32cdot(-2u,u') = u,u',(1-u^2)^-tfrac32
    Assim o segundo termo é
-(1-x^2),l[u,u',(1-u^2)^-tfrac32r] =-(1-x^2),u,u'(1-u^2)^tfrac32
Somando, obtemos
f''(x) =2xraiz1-u^2 ;-; (1-x^2),u,u'(1-u^2)^tfrac32

Passo 4

Agora avaliamos em x=tfrac12.
ul(tfrac12r) =tfrac12-(tfrac12)^33 =tfrac12-1/83 =tfrac12-tfrac124 =tfrac1124,
u'l(tfrac12r) =1-l(tfrac12r)^2 =1-tfrac14 =tfrac34,
1-u^2 =1-l(tfrac1124r)^2 =1-121576 =455576,
raiz1-u^2 =raiz45524, (1-u^2)^tfrac32 =l(raiz45524r)^3 =455,raiz45524^3 =455,raiz45513824

Passo 5

Substituindo em
f''l(tfrac12r) =2(tfrac12)raiz1-u^2 ;-; (1-(tfrac12)^2),u,u'(1-u^2)^tfrac32,
temos
2cdot12raiz45524 =1raiz455/24 =24raiz455,
(1-(tfrac12)^2),u,u' =34cdot1124cdot34 =33128,
33/128(1-u^2)^3/2 =33128cdot13824455,raiz455 =3564455,raiz455
Portanto
f''l(tfrac12r) =24raiz455 ;-; 3564455,raiz455 = 24cdot455 -3564455,raiz455 = 7356455,raiz455

Resposta

f''l(tfrac12r) =7356455,raiz455

Exercícios relacionados